Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4577 / 4773
↖ ↑ ↗
← S 28.497661°
E 21.137695°		 ← 4 294.43 m → S 28.497661°
E 21.181641°		 →
↑
4 293.67 m
↓
↑
4 293.67 m
↓
S 28.536275°
E 21.137695°		 ← 4 292.86 m →
18 435 494 m²		 S 28.536275°
E 21.181641°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4577 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4773 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.55877685546875 y=0.58270263671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.55877685546875 × 213)
    floor (0.55877685546875 × 8192)
    floor (4577.5)     		tx = 4577
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.58270263671875 × 213)
    floor (0.58270263671875 × 8192)
    floor (4773.5)     		ty = 4773
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4577 / 4773 ti = "13/4577/4773"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4577/4773.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4577 ÷ 213
    4577 ÷ 8192     		x = 0.5587158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4773 ÷ 213
    4773 ÷ 8192     		y = 0.5826416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5587158203125 × 2 - 1) × π
    0.117431640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.36892238
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5826416015625 × 2 - 1) × π
    -0.165283203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.519252496684448
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36892238} λ = 0.36892238}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.519252496684448))-π/2
    2×atan(0.594965120189869)-π/2
    2×0.536709158078049-π/2
    1.0734183161561-1.57079632675     		φ = -0.49737801
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36892238} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.137695°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49737801 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.497661°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4577 KachelY 4773 0.36892238 -0.49737801 21.137695 -28.497661
    Oben rechts KachelX + 1 4578 KachelY 4773 0.36968937 -0.49737801 21.181641 -28.497661
    Unten links KachelX 4577 KachelY + 1 4774 0.36892238 -0.49805195 21.137695 -28.536275
    Unten rechts KachelX + 1 4578 KachelY + 1 4774 0.36968937 -0.49805195 21.181641 -28.536275
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49737801--0.49805195) × R
    0.00067394000000004 × 6371000     		dl = 4293.67174000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49737801--0.49805195) × R
    0.00067394000000004 × 6371000     		dr = 4293.67174000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36892238-0.36968937) × cos(-0.49737801) × R
    0.000766990000000023 × 0.878836592803586 × 6371000     		do = 4294.42911374132m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36892238-0.36968937) × cos(-0.49805195) × R
    0.000766990000000023 × 0.878514841052166 × 6371000     		du = 4292.85687596696m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49737801)-sin(-0.49805195))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.878836592803586-0.878514841052166)×R²
    abs(0.36968937-0.36892238)×0.00032175175142013×R²
    0.000766990000000023×0.00032175175142013×6371000²
    0.000766990000000023×0.00032175175142013×40589641000000     		ar = 18435494.2864317m²