Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4577 / 12964
↖ ↑ ↗
← S 71.773941°
W 79.431153°		 ← 764.18 m → S 71.773941°
W 79.409180°		 →
↑
764.01 m
↓
↑
764.01 m
↓
S 71.780812°
W 79.431153°		 ← 763.90 m →
583 733 m²		 S 71.780812°
W 79.409180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4577 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12964 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.279388427734375 y=0.791290283203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.279388427734375 × 214)
    floor (0.279388427734375 × 16384)
    floor (4577.5)     		tx = 4577
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.791290283203125 × 214)
    floor (0.791290283203125 × 16384)
    floor (12964.5)     		ty = 12964
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4577 / 12964 ti = "14/4577/12964"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4577/12964.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4577 ÷ 214
    4577 ÷ 16384     		x = 0.27935791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12964 ÷ 214
    12964 ÷ 16384     		y = 0.791259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27935791015625 × 2 - 1) × π
    -0.4412841796875 × 3.1415926535     		Λ = -1.38633514
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.791259765625 × 2 - 1) × π
    -0.58251953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.83003907989526
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38633514} λ = -1.38633514}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.83003907989526))-π/2
    2×atan(0.160407298952238)-π/2
    2×0.1590523692966-π/2
    0.318104738593199-1.57079632675     		φ = -1.25269159
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38633514} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.431153°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25269159 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.773941°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4577 KachelY 12964 -1.38633514 -1.25269159 -79.431153 -71.773941
    Oben rechts KachelX + 1 4578 KachelY 12964 -1.38595164 -1.25269159 -79.409180 -71.773941
    Unten links KachelX 4577 KachelY + 1 12965 -1.38633514 -1.25281151 -79.431153 -71.780812
    Unten rechts KachelX + 1 4578 KachelY + 1 12965 -1.38595164 -1.25281151 -79.409180 -71.780812
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25269159--1.25281151) × R
    0.00011991999999994 × 6371000     		dl = 764.010319999618m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25269159--1.25281151) × R
    0.00011991999999994 × 6371000     		dr = 764.010319999618m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38633514--1.38595164) × cos(-1.25269159) × R
    0.00038349999999987 × 0.312766945767353 × 6371000     		do = 764.17675410378m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38633514--1.38595164) × cos(-1.25281151) × R
    0.00038349999999987 × 0.312653039917179 × 6371000     		du = 763.898450389027m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25269159)-sin(-1.25281151))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.312766945767353-0.312653039917179)×R²
    abs(-1.38595164--1.38633514)×0.000113905850173401×R²
    0.00038349999999987×0.000113905850173401×6371000²
    0.00038349999999987×0.000113905850173401×40589641000000     		ar = 583732.613683684m²