Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4577 / 12963
↖ ↑ ↗
← S 71.767067°
W 79.431153°		 ← 764.46 m → S 71.767067°
W 79.409180°		 →
↑
764.33 m
↓
↑
764.33 m
↓
S 71.773941°
W 79.431153°		 ← 764.18 m →
584 189 m²		 S 71.773941°
W 79.409180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4577 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12963 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.279388427734375 y=0.791229248046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.279388427734375 × 214)
    floor (0.279388427734375 × 16384)
    floor (4577.5)     		tx = 4577
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.791229248046875 × 214)
    floor (0.791229248046875 × 16384)
    floor (12963.5)     		ty = 12963
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4577 / 12963 ti = "14/4577/12963"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4577/12963.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4577 ÷ 214
    4577 ÷ 16384     		x = 0.27935791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12963 ÷ 214
    12963 ÷ 16384     		y = 0.79119873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27935791015625 × 2 - 1) × π
    -0.4412841796875 × 3.1415926535     		Λ = -1.38633514
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.79119873046875 × 2 - 1) × π
    -0.5823974609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.8296555846983
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38633514} λ = -1.38633514}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.8296555846983))-π/2
    2×atan(0.160468826177888)-π/2
    2×0.159112352531458-π/2
    0.318224705062916-1.57079632675     		φ = -1.25257162
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38633514} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.431153°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25257162 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.767067°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4577 KachelY 12963 -1.38633514 -1.25257162 -79.431153 -71.767067
    Oben rechts KachelX + 1 4578 KachelY 12963 -1.38595164 -1.25257162 -79.409180 -71.767067
    Unten links KachelX 4577 KachelY + 1 12964 -1.38633514 -1.25269159 -79.431153 -71.773941
    Unten rechts KachelX + 1 4578 KachelY + 1 12964 -1.38595164 -1.25269159 -79.409180 -71.773941
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25257162--1.25269159) × R
    0.000119969999999858 × 6371000     		dl = 764.328869999097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25257162--1.25269159) × R
    0.000119969999999858 × 6371000     		dr = 764.328869999097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38633514--1.38595164) × cos(-1.25257162) × R
    0.00038349999999987 × 0.312880894609304 × 6371000     		do = 764.455162859419m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38633514--1.38595164) × cos(-1.25269159) × R
    0.00038349999999987 × 0.312766945767353 × 6371000     		du = 764.17675410378m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25257162)-sin(-1.25269159))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.312880894609304-0.312766945767353)×R²
    abs(-1.38595164--1.38633514)×0.000113948841951317×R²
    0.00038349999999987×0.000113948841951317×6371000²
    0.00038349999999987×0.000113948841951317×40589641000000     		ar = 584188.753569413m²