Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 4576 / 12874
↖ ↑ ↗
← S 71.145194°
W 79.453125°		 ← 789.58 m → S 71.145194°
W 79.431153°		 →
↑
789.49 m
↓
↑
789.49 m
↓
S 71.152295°
W 79.453125°		 ← 789.29 m →
623 253 m²		 S 71.152295°
W 79.431153°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4576 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12874 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.279327392578125 y=0.785797119140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.279327392578125 × 214)
    floor (0.279327392578125 × 16384)
    floor (4576.5)     		tx = 4576
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785797119140625 × 214)
    floor (0.785797119140625 × 16384)
    floor (12874.5)     		ty = 12874
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4576 / 12874 ti = "14/4576/12874"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4576/12874.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4576 ÷ 214
    4576 ÷ 16384     		x = 0.279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12874 ÷ 214
    12874 ÷ 16384     		y = 0.7857666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.279296875 × 2 - 1) × π
    -0.44140625 × 3.1415926535     		Λ = -1.38671863
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7857666015625 × 2 - 1) × π
    -0.571533203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.79552451216882
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38671863} λ = -1.38671863}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79552451216882))-π/2
    2×atan(0.166040339324419)-π/2
    2×0.164539216012918-π/2
    0.329078432025836-1.57079632675     		φ = -1.24171789
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38671863} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.453125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24171789 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.145194°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4576 KachelY 12874 -1.38671863 -1.24171789 -79.453125 -71.145194
    Oben rechts KachelX + 1 4577 KachelY 12874 -1.38633514 -1.24171789 -79.431153 -71.145194
    Unten links KachelX 4576 KachelY + 1 12875 -1.38671863 -1.24184181 -79.453125 -71.152295
    Unten rechts KachelX + 1 4577 KachelY + 1 12875 -1.38633514 -1.24184181 -79.431153 -71.152295
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24171789--1.24184181) × R
    0.000123919999999833 × 6371000     		dl = 789.494319998936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24171789--1.24184181) × R
    0.000123919999999833 × 6371000     		dr = 789.494319998936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38671863--1.38633514) × cos(-1.24171789) × R
    0.000383490000000153 × 0.32317105310259 × 6371000     		do = 789.576296640439m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38671863--1.38633514) × cos(-1.24184181) × R
    0.000383490000000153 × 0.323053780098383 × 6371000     		du = 789.289773502093m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24171789)-sin(-1.24184181))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32317105310259-0.323053780098383)×R²
    abs(-1.38633514--1.38671863)×0.000117273004206997×R²
    0.000383490000000153×0.000117273004206997×6371000²
    0.000383490000000153×0.000117273004206997×40589641000000     		ar = 623252.898006245m²