Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4575 / 12876
↖ ↑ ↗
← S 71.159391°
W 79.475098°		 ← 789.02 m → S 71.159391°
W 79.453125°		 →
↑
788.92 m
↓
↑
788.92 m
↓
S 71.166486°
W 79.475098°		 ← 788.74 m →
622 365 m²		 S 71.166486°
W 79.453125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4575 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12876 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.279266357421875 y=0.785919189453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.279266357421875 × 214)
    floor (0.279266357421875 × 16384)
    floor (4575.5)     		tx = 4575
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785919189453125 × 214)
    floor (0.785919189453125 × 16384)
    floor (12876.5)     		ty = 12876
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4575 / 12876 ti = "14/4575/12876"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4575/12876.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4575 ÷ 214
    4575 ÷ 16384     		x = 0.27923583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12876 ÷ 214
    12876 ÷ 16384     		y = 0.785888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27923583984375 × 2 - 1) × π
    -0.4415283203125 × 3.1415926535     		Λ = -1.38710213
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785888671875 × 2 - 1) × π
    -0.57177734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.79629150256274
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38710213} λ = -1.38710213}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79629150256274))-π/2
    2×atan(0.165913036805299)-π/2
    2×0.164415326436336-π/2
    0.328830652872672-1.57079632675     		φ = -1.24196567
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38710213} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.475098°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24196567 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.159391°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4575 KachelY 12876 -1.38710213 -1.24196567 -79.475098 -71.159391
    Oben rechts KachelX + 1 4576 KachelY 12876 -1.38671863 -1.24196567 -79.453125 -71.159391
    Unten links KachelX 4575 KachelY + 1 12877 -1.38710213 -1.24208950 -79.475098 -71.166486
    Unten rechts KachelX + 1 4576 KachelY + 1 12877 -1.38671863 -1.24208950 -79.453125 -71.166486
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24196567--1.24208950) × R
    0.000123830000000158 × 6371000     		dl = 788.920930001006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24196567--1.24208950) × R
    0.000123830000000158 × 6371000     		dr = 788.920930001006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38710213--1.38671863) × cos(-1.24196567) × R
    0.00038349999999987 × 0.322936558918546 × 6371000     		do = 789.0239512694m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38710213--1.38671863) × cos(-1.24208950) × R
    0.00038349999999987 × 0.32281936117826 × 6371000     		du = 788.73760455031m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24196567)-sin(-1.24208950))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322936558918546-0.32281936117826)×R²
    abs(-1.38671863--1.38710213)×0.000117197740285957×R²
    0.00038349999999987×0.000117197740285957×6371000²
    0.00038349999999987×0.000117197740285957×40589641000000     		ar = 622364.557762175m²