Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 4574 / 13136
↖ ↑ ↗
← S 72.919636°
W 79.497070°		 ← 717.60 m → S 72.919636°
W 79.475098°		 →
↑
717.44 m
↓
↑
717.44 m
↓
S 72.926088°
W 79.497070°		 ← 717.34 m →
514 742 m²		 S 72.926088°
W 79.475098°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4574 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13136 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.279205322265625 y=0.801788330078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.279205322265625 × 214)
    floor (0.279205322265625 × 16384)
    floor (4574.5)     		tx = 4574
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.801788330078125 × 214)
    floor (0.801788330078125 × 16384)
    floor (13136.5)     		ty = 13136
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4574 / 13136 ti = "14/4574/13136"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4574/13136.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4574 ÷ 214
    4574 ÷ 16384     		x = 0.2791748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13136 ÷ 214
    13136 ÷ 16384     		y = 0.8017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2791748046875 × 2 - 1) × π
    -0.441650390625 × 3.1415926535     		Λ = -1.38748562
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8017578125 × 2 - 1) × π
    -0.603515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.89600025377246
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38748562} λ = -1.38748562}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89600025377246))-π/2
    2×atan(0.150168053736953)-π/2
    2×0.149054299289158-π/2
    0.298108598578316-1.57079632675     		φ = -1.27268773
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38748562} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.497070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27268773 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.919636°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4574 KachelY 13136 -1.38748562 -1.27268773 -79.497070 -72.919636
    Oben rechts KachelX + 1 4575 KachelY 13136 -1.38710213 -1.27268773 -79.475098 -72.919636
    Unten links KachelX 4574 KachelY + 1 13137 -1.38748562 -1.27280034 -79.497070 -72.926088
    Unten rechts KachelX + 1 4575 KachelY + 1 13137 -1.38710213 -1.27280034 -79.475098 -72.926088
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27268773--1.27280034) × R
    0.00011261000000018 × 6371000     		dl = 717.438310001144m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27268773--1.27280034) × R
    0.00011261000000018 × 6371000     		dr = 717.438310001144m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38748562--1.38710213) × cos(-1.27268773) × R
    0.000383490000000153 × 0.293712752643472 × 6371000     		do = 717.603341270428m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38748562--1.38710213) × cos(-1.27280034) × R
    0.000383490000000153 × 0.293605107588719 × 6371000     		du = 717.340341280585m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27268773)-sin(-1.27280034))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.293712752643472-0.293605107588719)×R²
    abs(-1.38710213--1.38748562)×0.000107645054752803×R²
    0.000383490000000153×0.000107645054752803×6371000²
    0.000383490000000153×0.000107645054752803×40589641000000     		ar = 514741.785820428m²