Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4573 / 4905
↖ ↑ ↗
← S 33.468108°
E 20.961914°		 ← 4 076.28 m → S 33.468108°
E 21.005859°		 →
↑
4 075.40 m
↓
↑
4 075.40 m
↓
S 33.504759°
E 20.961914°		 ← 4 074.55 m →
16 608 955 m²		 S 33.504759°
E 21.005859°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4573 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4905 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.55828857421875 y=0.59881591796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.55828857421875 × 213)
    floor (0.55828857421875 × 8192)
    floor (4573.5)     		tx = 4573
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.59881591796875 × 213)
    floor (0.59881591796875 × 8192)
    floor (4905.5)     		ty = 4905
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4573 / 4905 ti = "13/4573/4905"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4573/4905.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4573 ÷ 213
    4573 ÷ 8192     		x = 0.5582275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4905 ÷ 213
    4905 ÷ 8192     		y = 0.5987548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5582275390625 × 2 - 1) × π
    0.116455078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.36585442
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5987548828125 × 2 - 1) × π
    -0.197509765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.620495228682007
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36585442} λ = 0.36585442}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.620495228682007))-π/2
    2×atan(0.537678098034789)-π/2
    2×0.493333824288583-π/2
    0.986667648577166-1.57079632675     		φ = -0.58412868
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36585442} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.961914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58412868 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.468108°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4573 KachelY 4905 0.36585442 -0.58412868 20.961914 -33.468108
    Oben rechts KachelX + 1 4574 KachelY 4905 0.36662141 -0.58412868 21.005859 -33.468108
    Unten links KachelX 4573 KachelY + 1 4906 0.36585442 -0.58476836 20.961914 -33.504759
    Unten rechts KachelX + 1 4574 KachelY + 1 4906 0.36662141 -0.58476836 21.005859 -33.504759
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58412868--0.58476836) × R
    0.000639680000000031 × 6371000     		dl = 4075.4012800002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58412868--0.58476836) × R
    0.000639680000000031 × 6371000     		dr = 4075.4012800002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36585442-0.36662141) × cos(-0.58412868) × R
    0.000766989999999967 × 0.834192911715489 × 6371000     		do = 4076.27806566313m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36585442-0.36662141) × cos(-0.58476836) × R
    0.000766989999999967 × 0.833839974983535 × 6371000     		du = 4074.55344269064m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58412868)-sin(-0.58476836))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.834192911715489-0.833839974983535)×R²
    abs(0.36662141-0.36585442)×0.000352936731954245×R²
    0.000766989999999967×0.000352936731954245×6371000²
    0.000766989999999967×0.000352936731954245×40589641000000     		ar = 16608955.1474587m²