Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4572 / 3557
↖ ↑ ↗
← N 70.808590°
W 79.541015°		 ← 803.15 m → N 70.808590°
W 79.519043°		 →
↑
803.26 m
↓
↑
803.26 m
↓
N 70.801366°
W 79.541015°		 ← 803.44 m →
645 248 m²		 N 70.801366°
W 79.519043°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4572 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3557 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.279083251953125 y=0.217132568359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.279083251953125 × 214)
    floor (0.279083251953125 × 16384)
    floor (4572.5)     		tx = 4572
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.217132568359375 × 214)
    floor (0.217132568359375 × 16384)
    floor (3557.5)     		ty = 3557
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4572 / 3557 ti = "14/4572/3557"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4572/3557.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4572 ÷ 214
    4572 ÷ 16384     		x = 0.279052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3557 ÷ 214
    3557 ÷ 16384     		y = 0.21710205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.279052734375 × 2 - 1) × π
    -0.44189453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.38825261
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21710205078125 × 2 - 1) × π
    0.5657958984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.77750023791168
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38825261} λ = -1.38825261}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77750023791168))-π/2
    2×atan(5.91505170017302)-π/2
    2×1.40331968489046-π/2
    2.80663936978092-1.57079632675     		φ = 1.23584304
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38825261} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.541015°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23584304 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.808590°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4572 KachelY 3557 -1.38825261 1.23584304 -79.541015 70.808590
    Oben rechts KachelX + 1 4573 KachelY 3557 -1.38786912 1.23584304 -79.519043 70.808590
    Unten links KachelX 4572 KachelY + 1 3558 -1.38825261 1.23571696 -79.541015 70.801366
    Unten rechts KachelX + 1 4573 KachelY + 1 3558 -1.38786912 1.23571696 -79.519043 70.801366
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23584304-1.23571696) × R
    0.000126080000000028 × 6371000     		dl = 803.255680000181m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23584304-1.23571696) × R
    0.000126080000000028 × 6371000     		dr = 803.255680000181m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38825261--1.38786912) × cos(1.23584304) × R
    0.000383490000000153 × 0.328725053082716 × 6371000     		do = 803.145911535547m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38825261--1.38786912) × cos(1.23571696) × R
    0.000383490000000153 × 0.328844123657694 × 6371000     		du = 803.436826525388m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23584304)-sin(1.23571696))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.328725053082716-0.328844123657694)×R²
    abs(-1.38786912--1.38825261)×0.000119070574978286×R²
    0.000383490000000153×0.000119070574978286×6371000²
    0.000383490000000153×0.000119070574978286×40589641000000     		ar = 645248.355724838m²