Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 4572 / 13138
↖ ↑ ↗
← S 72.932538°
W 79.541015°		 ← 717.08 m → S 72.932538°
W 79.519043°		 →
↑
716.93 m
↓
↑
716.93 m
↓
S 72.938985°
W 79.541015°		 ← 716.81 m →
513 999 m²		 S 72.938985°
W 79.519043°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4572 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13138 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.279083251953125 y=0.801910400390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.279083251953125 × 214)
    floor (0.279083251953125 × 16384)
    floor (4572.5)     		tx = 4572
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.801910400390625 × 214)
    floor (0.801910400390625 × 16384)
    floor (13138.5)     		ty = 13138
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4572 / 13138 ti = "14/4572/13138"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4572/13138.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4572 ÷ 214
    4572 ÷ 16384     		x = 0.279052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13138 ÷ 214
    13138 ÷ 16384     		y = 0.8018798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.279052734375 × 2 - 1) × π
    -0.44189453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.38825261
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8018798828125 × 2 - 1) × π
    -0.603759765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.89676724416638
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38825261} λ = -1.38825261}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89676724416638))-π/2
    2×atan(0.150052920440973)-π/2
    2×0.148941703140145-π/2
    0.29788340628029-1.57079632675     		φ = -1.27291292
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38825261} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.541015°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27291292 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.932538°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4572 KachelY 13138 -1.38825261 -1.27291292 -79.541015 -72.932538
    Oben rechts KachelX + 1 4573 KachelY 13138 -1.38786912 -1.27291292 -79.519043 -72.932538
    Unten links KachelX 4572 KachelY + 1 13139 -1.38825261 -1.27302545 -79.541015 -72.938985
    Unten rechts KachelX + 1 4573 KachelY + 1 13139 -1.38786912 -1.27302545 -79.519043 -72.938985
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27291292--1.27302545) × R
    0.00011253 × 6371000     		dl = 716.928629999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27291292--1.27302545) × R
    0.00011253 × 6371000     		dr = 716.928629999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38825261--1.38786912) × cos(-1.27291292) × R
    0.000383490000000153 × 0.293497487489552 × 6371000     		do = 717.077402262599m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38825261--1.38786912) × cos(-1.27302545) × R
    0.000383490000000153 × 0.293389911470166 × 6371000     		du = 716.814570940986m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27291292)-sin(-1.27302545))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.293497487489552-0.293389911470166)×R²
    abs(-1.38786912--1.38825261)×0.00010757601938588×R²
    0.000383490000000153×0.00010757601938588×6371000²
    0.000383490000000153×0.00010757601938588×40589641000000     		ar = 513999.104502314m²