Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4571 / 4901
↖ ↑ ↗
← S 33.321348°
E 20.874024°		 ← 4 083.17 m → S 33.321348°
E 20.917969°		 →
↑
4 082.35 m
↓
↑
4 082.35 m
↓
S 33.358062°
E 20.874024°		 ← 4 081.45 m →
16 665 388 m²		 S 33.358062°
E 20.917969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4571 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4901 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.55804443359375 y=0.59832763671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.55804443359375 × 213)
    floor (0.55804443359375 × 8192)
    floor (4571.5)     		tx = 4571
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.59832763671875 × 213)
    floor (0.59832763671875 × 8192)
    floor (4901.5)     		ty = 4901
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4571 / 4901 ti = "13/4571/4901"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4571/4901.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4571 ÷ 213
    4571 ÷ 8192     		x = 0.5579833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4901 ÷ 213
    4901 ÷ 8192     		y = 0.5982666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5579833984375 × 2 - 1) × π
    0.115966796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.36432044
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5982666015625 × 2 - 1) × π
    -0.196533203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.617427267106323
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36432044} λ = 0.36432044}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.617427267106323))-π/2
    2×atan(0.539330206786875)-π/2
    2×0.494614541907093-π/2
    0.989229083814187-1.57079632675     		φ = -0.58156724
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36432044} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.874024°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58156724 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.321348°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4571 KachelY 4901 0.36432044 -0.58156724 20.874024 -33.321348
    Oben rechts KachelX + 1 4572 KachelY 4901 0.36508743 -0.58156724 20.917969 -33.321348
    Unten links KachelX 4571 KachelY + 1 4902 0.36432044 -0.58220801 20.874024 -33.358062
    Unten rechts KachelX + 1 4572 KachelY + 1 4902 0.36508743 -0.58220801 20.917969 -33.358062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58156724--0.58220801) × R
    0.000640769999999957 × 6371000     		dl = 4082.34566999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58156724--0.58220801) × R
    0.000640769999999957 × 6371000     		dr = 4082.34566999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36432044-0.36508743) × cos(-0.58156724) × R
    0.000766989999999967 × 0.835602737955285 × 6371000     		do = 4083.16717212396m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36432044-0.36508743) × cos(-0.58220801) × R
    0.000766989999999967 × 0.835250569559969 × 6371000     		du = 4081.4463036233m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58156724)-sin(-0.58220801))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.835602737955285-0.835250569559969)×R²
    abs(0.36508743-0.36432044)×0.000352168395315933×R²
    0.000766989999999967×0.000352168395315933×6371000²
    0.000766989999999967×0.000352168395315933×40589641000000     		ar = 16665387.805185m²