Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45708 / 94853
↖ ↑ ↗
← S 62.437429°
W 54.459229°		 ← 141.33 m → S 62.437429°
W 54.456482°		 →
↑
141.31 m
↓
↑
141.31 m
↓
S 62.438700°
W 54.459229°		 ← 141.32 m →
19 970 m²		 S 62.438700°
W 54.456482°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45708 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94853 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.348728179931641 y=0.723674774169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.348728179931641 × 217)
    floor (0.348728179931641 × 131072)
    floor (45708.5)     		tx = 45708
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723674774169922 × 217)
    floor (0.723674774169922 × 131072)
    floor (94853.5)     		ty = 94853
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45708 / 94853 ti = "17/45708/94853"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45708/94853.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45708 ÷ 217
    45708 ÷ 131072     		x = 0.348724365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94853 ÷ 217
    94853 ÷ 131072     		y = 0.723670959472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.348724365234375 × 2 - 1) × π
    -0.30255126953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.95049285
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.723670959472656 × 2 - 1) × π
    -0.447341918945312 × 3.1415926535     		Φ = -1.40536608616119
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95049285} λ = -0.95049285}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40536608616119))-π/2
    2×atan(0.245277247409075)-π/2
    2×0.240528804007168-π/2
    0.481057608014337-1.57079632675     		φ = -1.08973872
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95049285} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.459229°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08973872 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.437429°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45708 KachelY 94853 -0.95049285 -1.08973872 -54.459229 -62.437429
    Oben rechts KachelX + 1 45709 KachelY 94853 -0.95044491 -1.08973872 -54.456482 -62.437429
    Unten links KachelX 45708 KachelY + 1 94854 -0.95049285 -1.08976090 -54.459229 -62.438700
    Unten rechts KachelX + 1 45709 KachelY + 1 94854 -0.95044491 -1.08976090 -54.456482 -62.438700
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08973872--1.08976090) × R
    2.21799999999828e-05 × 6371000     		dl = 141.30877999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08973872--1.08976090) × R
    2.21799999999828e-05 × 6371000     		dr = 141.30877999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95049285--0.95044491) × cos(-1.08973872) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.462717008966573 × 6371000     		do = 141.32568487411m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95049285--0.95044491) × cos(-1.08976090) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.462697346148657 × 6371000     		du = 141.319679343397m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08973872)-sin(-1.08976090))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.462717008966573-0.462697346148657)×R²
    abs(-0.95044491--0.95049285)×1.96628179162661e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.96628179162661e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.96628179162661e-05×40589641000000     		ar = 19970.1357959798m²