Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4570 / 4902
↖ ↑ ↗
← S 33.358062°
E 20.830078°		 ← 4 081.45 m → S 33.358062°
E 20.874024°		 →
↑
4 080.56 m
↓
↑
4 080.56 m
↓
S 33.394759°
E 20.830078°		 ← 4 079.72 m →
16 651 081 m²		 S 33.394759°
E 20.874024°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4570 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4902 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.55792236328125 y=0.59844970703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.55792236328125 × 213)
    floor (0.55792236328125 × 8192)
    floor (4570.5)     		tx = 4570
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.59844970703125 × 213)
    floor (0.59844970703125 × 8192)
    floor (4902.5)     		ty = 4902
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4570 / 4902 ti = "13/4570/4902"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4570/4902.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4570 ÷ 213
    4570 ÷ 8192     		x = 0.557861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4902 ÷ 213
    4902 ÷ 8192     		y = 0.598388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557861328125 × 2 - 1) × π
    0.11572265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.36355345
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.598388671875 × 2 - 1) × π
    -0.19677734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.618194257500244
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36355345} λ = 0.36355345}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.618194257500244))-π/2
    2×atan(0.538916704295608)-π/2
    2×0.494294159791767-π/2
    0.988588319583534-1.57079632675     		φ = -0.58220801
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36355345} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.830078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58220801 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.358062°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4570 KachelY 4902 0.36355345 -0.58220801 20.830078 -33.358062
    Oben rechts KachelX + 1 4571 KachelY 4902 0.36432044 -0.58220801 20.874024 -33.358062
    Unten links KachelX 4570 KachelY + 1 4903 0.36355345 -0.58284850 20.830078 -33.394759
    Unten rechts KachelX + 1 4571 KachelY + 1 4903 0.36432044 -0.58284850 20.874024 -33.394759
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58220801--0.58284850) × R
    0.000640489999999994 × 6371000     		dl = 4080.56178999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58220801--0.58284850) × R
    0.000640489999999994 × 6371000     		dr = 4080.56178999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36355345-0.36432044) × cos(-0.58220801) × R
    0.000766990000000023 × 0.835250569559969 × 6371000     		do = 4081.44630362359m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36355345-0.36432044) × cos(-0.58284850) × R
    0.000766990000000023 × 0.834898212335571 × 6371000     		du = 4079.72451241089m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58220801)-sin(-0.58284850))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.835250569559969-0.834898212335571)×R²
    abs(0.36432044-0.36355345)×0.000352357224398303×R²
    0.000766990000000023×0.000352357224398303×6371000²
    0.000766990000000023×0.000352357224398303×40589641000000     		ar = 16651081.4660119m²