Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4570 / 4899
↖ ↑ ↗
← S 33.247876°
E 20.830078°		 ← 4 086.61 m → S 33.247876°
E 20.874024°		 →
↑
4 085.79 m
↓
↑
4 085.79 m
↓
S 33.284620°
E 20.830078°		 ← 4 084.89 m →
16 693 487 m²		 S 33.284620°
E 20.874024°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4570 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4899 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.55792236328125 y=0.59808349609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.55792236328125 × 213)
    floor (0.55792236328125 × 8192)
    floor (4570.5)     		tx = 4570
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.59808349609375 × 213)
    floor (0.59808349609375 × 8192)
    floor (4899.5)     		ty = 4899
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4570 / 4899 ti = "13/4570/4899"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4570/4899.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4570 ÷ 213
    4570 ÷ 8192     		x = 0.557861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4899 ÷ 213
    4899 ÷ 8192     		y = 0.5980224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557861328125 × 2 - 1) × π
    0.11572265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.36355345
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5980224609375 × 2 - 1) × π
    -0.196044921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.615893286318482
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36355345} λ = 0.36355345}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.615893286318482))-π/2
    2×atan(0.540158163835136)-π/2
    2×0.495255711111854-π/2
    0.990511422223707-1.57079632675     		φ = -0.58028490
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36355345} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.830078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58028490 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.247876°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4570 KachelY 4899 0.36355345 -0.58028490 20.830078 -33.247876
    Oben rechts KachelX + 1 4571 KachelY 4899 0.36432044 -0.58028490 20.874024 -33.247876
    Unten links KachelX 4570 KachelY + 1 4900 0.36355345 -0.58092621 20.830078 -33.284620
    Unten rechts KachelX + 1 4571 KachelY + 1 4900 0.36432044 -0.58092621 20.874024 -33.284620
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58028490--0.58092621) × R
    0.000641310000000006 × 6371000     		dl = 4085.78601000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58028490--0.58092621) × R
    0.000641310000000006 × 6371000     		dr = 4085.78601000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36355345-0.36432044) × cos(-0.58028490) × R
    0.000766990000000023 × 0.836306483950703 × 6371000     		do = 4086.60602220872m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36355345-0.36432044) × cos(-0.58092621) × R
    0.000766990000000023 × 0.835954705951289 × 6371000     		du = 4084.88706137502m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58028490)-sin(-0.58092621))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.836306483950703-0.835954705951289)×R²
    abs(0.36432044-0.36355345)×0.000351777999413661×R²
    0.000766990000000023×0.000351777999413661×6371000²
    0.000766990000000023×0.000351777999413661×40589641000000     		ar = 16693486.6329973m²