Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4570 / 3509
↖ ↑ ↗
← N 80.318272°
W129.792481°		 ← 205.45 m → N 80.318272°
W129.781494°		 →
↑
205.46 m
↓
↑
205.46 m
↓
N 80.316424°
W129.792481°		 ← 205.49 m →
42 217 m²		 N 80.316424°
W129.781494°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4570 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3509 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.139480590820312 y=0.107101440429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.139480590820312 × 215)
    floor (0.139480590820312 × 32768)
    floor (4570.5)     		tx = 4570
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.107101440429688 × 215)
    floor (0.107101440429688 × 32768)
    floor (3509.5)     		ty = 3509
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4570 / 3509 ti = "15/4570/3509"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4570/3509.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4570 ÷ 215
    4570 ÷ 32768     		x = 0.13946533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3509 ÷ 215
    3509 ÷ 32768     		y = 0.107086181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.13946533203125 × 2 - 1) × π
    -0.7210693359375 × 3.1415926535     		Λ = -2.26530613
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.107086181640625 × 2 - 1) × π
    0.78582763671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.46875033043289
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.26530613} λ = -2.26530613}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46875033043289))-π/2
    2×atan(11.807681927167)-π/2
    2×1.48630731290347-π/2
    2.97261462580695-1.57079632675     		φ = 1.40181830
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.26530613} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.792481°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40181830 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.318272°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4570 KachelY 3509 -2.26530613 1.40181830 -129.792481 80.318272
    Oben rechts KachelX + 1 4571 KachelY 3509 -2.26511438 1.40181830 -129.781494 80.318272
    Unten links KachelX 4570 KachelY + 1 3510 -2.26530613 1.40178605 -129.792481 80.316424
    Unten rechts KachelX + 1 4571 KachelY + 1 3510 -2.26511438 1.40178605 -129.781494 80.316424
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40181830-1.40178605) × R
    3.22500000000669e-05 × 6371000     		dl = 205.464750000427m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40181830-1.40178605) × R
    3.22500000000669e-05 × 6371000     		dr = 205.464750000427m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.26530613--2.26511438) × cos(1.40181830) × R
    0.000191749999999935 × 0.168175019669701 × 6371000     		do = 205.449204897959m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.26530613--2.26511438) × cos(1.40178605) × R
    0.000191749999999935 × 0.168206810250392 × 6371000     		du = 205.488041519111m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40181830)-sin(1.40178605))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.168175019669701-0.168206810250392)×R²
    abs(-2.26511438--2.26530613)×3.17905806909435e-05×R²
    0.000191749999999935×3.17905806909435e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.17905806909435e-05×40589641000000     		ar = 42216.5593045289m²