Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 457 / 547
↖ ↑ ↗
← N 78.577907°
W139.833984°		 ← 1 935.40 m → N 78.577907°
W139.746094°		 →
↑
1 936.85 m
↓
↑
1 936.85 m
↓
N 78.560488°
W139.833984°		 ← 1 938.31 m →
3 751 389 m²		 N 78.560488°
W139.746094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 457 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 547 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1116943359375 y=0.1336669921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1116943359375 × 212)
    floor (0.1116943359375 × 4096)
    floor (457.5)     		tx = 457
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1336669921875 × 212)
    floor (0.1336669921875 × 4096)
    floor (547.5)     		ty = 547
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 457 / 547 ti = "12/457/547"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/457/547.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 457 ÷ 212
    457 ÷ 4096     		x = 0.111572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 547 ÷ 212
    547 ÷ 4096     		y = 0.133544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.111572265625 × 2 - 1) × π
    -0.77685546875 × 3.1415926535     		Λ = -2.44056343
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.133544921875 × 2 - 1) × π
    0.73291015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.30250516255054
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.44056343} λ = -2.44056343}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30250516255054))-π/2
    2×atan(9.99920072750844)-π/2
    2×1.47111976008841-π/2
    2.94223952017682-1.57079632675     		φ = 1.37144319
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.44056343} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -139.833984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37144319 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.577907°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 457 KachelY 547 -2.44056343 1.37144319 -139.833984 78.577907
    Oben rechts KachelX + 1 458 KachelY 547 -2.43902945 1.37144319 -139.746094 78.577907
    Unten links KachelX 457 KachelY + 1 548 -2.44056343 1.37113918 -139.833984 78.560488
    Unten rechts KachelX + 1 458 KachelY + 1 548 -2.43902945 1.37113918 -139.746094 78.560488
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37144319-1.37113918) × R
    0.000304010000000021 × 6371000     		dl = 1936.84771000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37144319-1.37113918) × R
    0.000304010000000021 × 6371000     		dr = 1936.84771000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.44056343--2.43902945) × cos(1.37144319) × R
    0.00153398000000005 × 0.198035320266714 × 6371000     		do = 1935.39652733266m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.44056343--2.43902945) × cos(1.37113918) × R
    0.00153398000000005 × 0.198333300157594 × 6371000     		du = 1938.30868080733m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37144319)-sin(1.37113918))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.198035320266714-0.198333300157594)×R²
    abs(-2.43902945--2.44056343)×0.000297979890879374×R²
    0.00153398000000005×0.000297979890879374×6371000²
    0.00153398000000005×0.000297979890879374×40589641000000     		ar = 3751388.55969562m²