Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 457 / 302
↖ ↑ ↗
← N 59.175928°
W 19.335937°		 ← 20.031 km → N 59.175928°
W 18.984375°		 →
↑
20.084 km
↓
↑
20.084 km
↓
N 58.995311°
W 19.335937°		 ← 20.137 km →
403.357 km²		 N 58.995311°
W 18.984375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 457 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 302 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44677734375 y=0.29541015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44677734375 × 210)
    floor (0.44677734375 × 1024)
    floor (457.5)     		tx = 457
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.29541015625 × 210)
    floor (0.29541015625 × 1024)
    floor (302.5)     		ty = 302
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 457 / 302 ti = "10/457/302"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/457/302.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 457 ÷ 210
    457 ÷ 1024     		x = 0.4462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 302 ÷ 210
    302 ÷ 1024     		y = 0.294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4462890625 × 2 - 1) × π
    -0.107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33747577
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.294921875 × 2 - 1) × π
    0.41015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.28854386178711
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33747577} λ = -0.33747577}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28854386178711))-π/2
    2×atan(3.6275005659296)-π/2
    2×1.30180555632487-π/2
    2.60361111264973-1.57079632675     		φ = 1.03281479
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33747577} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.335937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03281479 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.175928°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 457 KachelY 302 -0.33747577 1.03281479 -19.335937 59.175928
    Oben rechts KachelX + 1 458 KachelY 302 -0.33133985 1.03281479 -18.984375 59.175928
    Unten links KachelX 457 KachelY + 1 303 -0.33747577 1.02966242 -19.335937 58.995311
    Unten rechts KachelX + 1 458 KachelY + 1 303 -0.33133985 1.02966242 -18.984375 58.995311
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03281479-1.02966242) × R
    0.00315237000000002 × 6371000     		dl = 20083.7492700001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03281479-1.02966242) × R
    0.00315237000000002 × 6371000     		dr = 20083.7492700001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33747577--0.33133985) × cos(1.03281479) × R
    0.00613592000000002 × 0.512403692070203 × 6371000     		do = 20030.8576245782m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33747577--0.33133985) × cos(1.02966242) × R
    0.00613592000000002 × 0.515108222622785 × 6371000     		du = 20136.5829877606m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03281479)-sin(1.02966242))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.512403692070203-0.515108222622785)×R²
    abs(-0.33133985--0.33747577)×0.00270453055258224×R²
    0.00613592000000002×0.00270453055258224×6371000²
    0.00613592000000002×0.00270453055258224×40589641000000     		ar = 403356737.06564m²