Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 457 / 298
↖ ↑ ↗
← N 59.888937°
W 19.335937°		 ← 19.612 km → N 59.888937°
W 18.984375°		 →
↑
19.664 km
↓
↑
19.664 km
↓
N 59.712097°
W 19.335937°		 ← 19.716 km →
386.660 km²		 N 59.712097°
W 18.984375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 457 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 298 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44677734375 y=0.29150390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44677734375 × 210)
    floor (0.44677734375 × 1024)
    floor (457.5)     		tx = 457
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.29150390625 × 210)
    floor (0.29150390625 × 1024)
    floor (298.5)     		ty = 298
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 457 / 298 ti = "10/457/298"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/457/298.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 457 ÷ 210
    457 ÷ 1024     		x = 0.4462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 298 ÷ 210
    298 ÷ 1024     		y = 0.291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4462890625 × 2 - 1) × π
    -0.107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33747577
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.291015625 × 2 - 1) × π
    0.41796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.31308755439258
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33747577} λ = -0.33747577}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.31308755439258))-π/2
    2×atan(3.71763440879247)-π/2
    2×1.30802773057187-π/2
    2.61605546114375-1.57079632675     		φ = 1.04525913
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33747577} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.335937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04525913 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.888937°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 457 KachelY 298 -0.33747577 1.04525913 -19.335937 59.888937
    Oben rechts KachelX + 1 458 KachelY 298 -0.33133985 1.04525913 -18.984375 59.888937
    Unten links KachelX 457 KachelY + 1 299 -0.33747577 1.04217270 -19.335937 59.712097
    Unten rechts KachelX + 1 458 KachelY + 1 299 -0.33133985 1.04217270 -18.984375 59.712097
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04525913-1.04217270) × R
    0.00308642999999997 × 6371000     		dl = 19663.6455299998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04525913-1.04217270) × R
    0.00308642999999997 × 6371000     		dr = 19663.6455299998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33747577--0.33133985) × cos(1.04525913) × R
    0.00613592000000002 × 0.501677781579305 × 6371000     		do = 19611.5609074349m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33747577--0.33133985) × cos(1.04217270) × R
    0.00613592000000002 × 0.504345318204851 × 6371000     		du = 19715.8401060074m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04525913)-sin(1.04217270))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.501677781579305-0.504345318204851)×R²
    abs(-0.33133985--0.33747577)×0.00266753662554542×R²
    0.00613592000000002×0.00266753662554542×6371000²
    0.00613592000000002×0.00266753662554542×40589641000000     		ar = 386660343.517791m²