Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4568 / 4792
↖ ↑ ↗
← S 29.228890°
E 20.742188°		 ← 4 264.33 m → S 29.228890°
E 20.786133°		 →
↑
4 263.54 m
↓
↑
4 263.54 m
↓
S 29.267233°
E 20.742188°		 ← 4 262.73 m →
18 177 703 m²		 S 29.267233°
E 20.786133°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4568 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4792 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.55767822265625 y=0.58502197265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.55767822265625 × 213)
    floor (0.55767822265625 × 8192)
    floor (4568.5)     		tx = 4568
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.58502197265625 × 213)
    floor (0.58502197265625 × 8192)
    floor (4792.5)     		ty = 4792
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4568 / 4792 ti = "13/4568/4792"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4568/4792.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4568 ÷ 213
    4568 ÷ 8192     		x = 0.5576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4792 ÷ 213
    4792 ÷ 8192     		y = 0.5849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5576171875 × 2 - 1) × π
    0.115234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.36201947
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5849609375 × 2 - 1) × π
    -0.169921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.533825314168945
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36201947} λ = 0.36201947}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.533825314168945))-π/2
    2×atan(0.586357671798541)-π/2
    2×0.530327979538989-π/2
    1.06065595907798-1.57079632675     		φ = -0.51014037
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36201947} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.742188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51014037 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.228890°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4568 KachelY 4792 0.36201947 -0.51014037 20.742188 -29.228890
    Oben rechts KachelX + 1 4569 KachelY 4792 0.36278646 -0.51014037 20.786133 -29.228890
    Unten links KachelX 4568 KachelY + 1 4793 0.36201947 -0.51080958 20.742188 -29.267233
    Unten rechts KachelX + 1 4569 KachelY + 1 4793 0.36278646 -0.51080958 20.786133 -29.267233
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51014037--0.51080958) × R
    0.000669209999999976 × 6371000     		dl = 4263.53690999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51014037--0.51080958) × R
    0.000669209999999976 × 6371000     		dr = 4263.53690999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36201947-0.36278646) × cos(-0.51014037) × R
    0.000766989999999967 × 0.872675973607667 × 6371000     		do = 4264.3252893779m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36201947-0.36278646) × cos(-0.51080958) × R
    0.000766989999999967 × 0.872349003146403 × 6371000     		du = 4262.7275504129m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51014037)-sin(-0.51080958))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872675973607667-0.872349003146403)×R²
    abs(0.36278646-0.36201947)×0.000326970461264509×R²
    0.000766989999999967×0.000326970461264509×6371000²
    0.000766989999999967×0.000326970461264509×40589641000000     		ar = 18177702.9363779m²