Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45679 / 94831
↖ ↑ ↗
← S 62.409456°
W 54.538880°		 ← 141.46 m → S 62.409456°
W 54.536133°		 →
↑
141.50 m
↓
↑
141.50 m
↓
S 62.410729°
W 54.538880°		 ← 141.45 m →
20 016 m²		 S 62.410729°
W 54.536133°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45679 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94831 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.348506927490234 y=0.723506927490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.348506927490234 × 217)
    floor (0.348506927490234 × 131072)
    floor (45679.5)     		tx = 45679
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723506927490234 × 217)
    floor (0.723506927490234 × 131072)
    floor (94831.5)     		ty = 94831
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45679 / 94831 ti = "17/45679/94831"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45679/94831.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45679 ÷ 217
    45679 ÷ 131072     		x = 0.348503112792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94831 ÷ 217
    94831 ÷ 131072     		y = 0.723503112792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.348503112792969 × 2 - 1) × π
    -0.302993774414062 × 3.1415926535     		Λ = -0.95188302
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.723503112792969 × 2 - 1) × π
    -0.447006225585938 × 3.1415926535     		Φ = -1.40431147436955
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95188302} λ = -0.95188302}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40431147436955))-π/2
    2×atan(0.245536056133793)-π/2
    2×0.240772911497646-π/2
    0.481545822995292-1.57079632675     		φ = -1.08925050
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95188302} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.538880°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08925050 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.409456°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45679 KachelY 94831 -0.95188302 -1.08925050 -54.538880 -62.409456
    Oben rechts KachelX + 1 45680 KachelY 94831 -0.95183508 -1.08925050 -54.536133 -62.409456
    Unten links KachelX 45679 KachelY + 1 94832 -0.95188302 -1.08927271 -54.538880 -62.410729
    Unten rechts KachelX + 1 45680 KachelY + 1 94832 -0.95183508 -1.08927271 -54.536133 -62.410729
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08925050--1.08927271) × R
    2.22100000000225e-05 × 6371000     		dl = 141.499910000143m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08925050--1.08927271) × R
    2.22100000000225e-05 × 6371000     		dr = 141.499910000143m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95188302--0.95183508) × cos(-1.08925050) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.463149763784835 × 6371000     		do = 141.457859335043m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95188302--0.95183508) × cos(-1.08927271) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.463130079391079 × 6371000     		du = 141.451847214514m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08925050)-sin(-1.08927271))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.463149763784835-0.463130079391079)×R²
    abs(-0.95183508--0.95188302)×1.96843937561586e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.96843937561586e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.96843937561586e-05×40589641000000     		ar = 20015.8490082282m²