Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45678 / 94829
↖ ↑ ↗
← S 62.406913°
W 54.541626°		 ← 141.44 m → S 62.406913°
W 54.538880°		 →
↑
141.44 m
↓
↑
141.44 m
↓
S 62.408185°
W 54.541626°		 ← 141.43 m →
20 004 m²		 S 62.408185°
W 54.538880°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45678 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94829 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.348499298095703 y=0.723491668701172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.348499298095703 × 217)
    floor (0.348499298095703 × 131072)
    floor (45678.5)     		tx = 45678
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723491668701172 × 217)
    floor (0.723491668701172 × 131072)
    floor (94829.5)     		ty = 94829
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45678 / 94829 ti = "17/45678/94829"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45678/94829.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45678 ÷ 217
    45678 ÷ 131072     		x = 0.348495483398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94829 ÷ 217
    94829 ÷ 131072     		y = 0.723487854003906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.348495483398438 × 2 - 1) × π
    -0.303009033203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.95193095
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.723487854003906 × 2 - 1) × π
    -0.446975708007812 × 3.1415926535     		Φ = -1.4042156005703
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95193095} λ = -0.95193095}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4042156005703))-π/2
    2×atan(0.245559597736838)-π/2
    2×0.240795114404502-π/2
    0.481590228809004-1.57079632675     		φ = -1.08920610
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95193095} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.541626°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08920610 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.406913°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45678 KachelY 94829 -0.95193095 -1.08920610 -54.541626 -62.406913
    Oben rechts KachelX + 1 45679 KachelY 94829 -0.95188302 -1.08920610 -54.538880 -62.406913
    Unten links KachelX 45678 KachelY + 1 94830 -0.95193095 -1.08922830 -54.541626 -62.408185
    Unten rechts KachelX + 1 45679 KachelY + 1 94830 -0.95188302 -1.08922830 -54.538880 -62.408185
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08920610--1.08922830) × R
    2.22000000000833e-05 × 6371000     		dl = 141.43620000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08920610--1.08922830) × R
    2.22000000000833e-05 × 6371000     		dr = 141.43620000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95193095--0.95188302) × cos(-1.08920610) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.463189114161755 × 6371000     		do = 141.440368174422m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95193095--0.95188302) × cos(-1.08922830) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.463169439087429 × 6371000     		du = 141.434360153785m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08920610)-sin(-1.08922830))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.463189114161755-0.463169439087429)×R²
    abs(-0.95188302--0.95193095)×1.96750743259311e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.96750743259311e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.96750743259311e-05×40589641000000     		ar = 20004.3633262544m²