Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45677 / 94837
↖ ↑ ↗
← S 62.417088°
W 54.544373°		 ← 141.42 m → S 62.417088°
W 54.541626°		 →
↑
141.37 m
↓
↑
141.37 m
↓
S 62.418360°
W 54.544373°		 ← 141.42 m →
19 993 m²		 S 62.418360°
W 54.541626°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45677 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94837 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.348491668701172 y=0.723552703857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.348491668701172 × 217)
    floor (0.348491668701172 × 131072)
    floor (45677.5)     		tx = 45677
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723552703857422 × 217)
    floor (0.723552703857422 × 131072)
    floor (94837.5)     		ty = 94837
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45677 / 94837 ti = "17/45677/94837"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45677/94837.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45677 ÷ 217
    45677 ÷ 131072     		x = 0.348487854003906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94837 ÷ 217
    94837 ÷ 131072     		y = 0.723548889160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.348487854003906 × 2 - 1) × π
    -0.303024291992188 × 3.1415926535     		Λ = -0.95197889
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.723548889160156 × 2 - 1) × π
    -0.447097778320312 × 3.1415926535     		Φ = -1.40459909576727
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95197889} λ = -0.95197889}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40459909576727))-π/2
    2×atan(0.24546544486528)-π/2
    2×0.240706314095756-π/2
    0.481412628191513-1.57079632675     		φ = -1.08938370
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95197889} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.544373°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08938370 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.417088°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45677 KachelY 94837 -0.95197889 -1.08938370 -54.544373 -62.417088
    Oben rechts KachelX + 1 45678 KachelY 94837 -0.95193095 -1.08938370 -54.541626 -62.417088
    Unten links KachelX 45677 KachelY + 1 94838 -0.95197889 -1.08940589 -54.544373 -62.418360
    Unten rechts KachelX + 1 45678 KachelY + 1 94838 -0.95193095 -1.08940589 -54.541626 -62.418360
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08938370--1.08940589) × R
    2.2190000000144e-05 × 6371000     		dl = 141.372490000918m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08938370--1.08940589) × R
    2.2190000000144e-05 × 6371000     		dr = 141.372490000918m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95197889--0.95193095) × cos(-1.08938370) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.463031707176176 × 6371000     		do = 141.421801807654m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95197889--0.95193095) × cos(-1.08940589) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.463012039139494 × 6371000     		du = 141.415794682996m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08938370)-sin(-1.08940589))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.463031707176176-0.463012039139494)×R²
    abs(-0.95193095--0.95197889)×1.9668036681908e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.9668036681908e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.9668036681908e-05×40589641000000     		ar = 19992.7276416455m²