Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45677 / 94824
↖ ↑ ↗
← S 62.400551°
W 54.544373°		 ← 141.50 m → S 62.400551°
W 54.541626°		 →
↑
141.44 m
↓
↑
141.44 m
↓
S 62.401823°
W 54.544373°		 ← 141.49 m →
20 013 m²		 S 62.401823°
W 54.541626°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45677 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94824 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.348491668701172 y=0.723453521728516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.348491668701172 × 217)
    floor (0.348491668701172 × 131072)
    floor (45677.5)     		tx = 45677
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723453521728516 × 217)
    floor (0.723453521728516 × 131072)
    floor (94824.5)     		ty = 94824
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45677 / 94824 ti = "17/45677/94824"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45677/94824.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45677 ÷ 217
    45677 ÷ 131072     		x = 0.348487854003906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94824 ÷ 217
    94824 ÷ 131072     		y = 0.72344970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.348487854003906 × 2 - 1) × π
    -0.303024291992188 × 3.1415926535     		Λ = -0.95197889
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72344970703125 × 2 - 1) × π
    -0.4468994140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.4039759160722
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95197889} λ = -0.95197889}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4039759160722))-π/2
    2×atan(0.245618461619874)-π/2
    2×0.240850629925947-π/2
    0.481701259851894-1.57079632675     		φ = -1.08909507
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95197889} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.544373°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08909507 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.400551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45677 KachelY 94824 -0.95197889 -1.08909507 -54.544373 -62.400551
    Oben rechts KachelX + 1 45678 KachelY 94824 -0.95193095 -1.08909507 -54.541626 -62.400551
    Unten links KachelX 45677 KachelY + 1 94825 -0.95197889 -1.08911727 -54.544373 -62.401823
    Unten rechts KachelX + 1 45678 KachelY + 1 94825 -0.95193095 -1.08911727 -54.541626 -62.401823
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08909507--1.08911727) × R
    2.22000000000833e-05 × 6371000     		dl = 141.43620000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08909507--1.08911727) × R
    2.22000000000833e-05 × 6371000     		dr = 141.43620000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95197889--0.95193095) × cos(-1.08909507) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.46328751269526 × 6371000     		do = 141.499931397616m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95197889--0.95193095) × cos(-1.08911727) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.46326783876273 × 6371000     		du = 141.493922472215m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08909507)-sin(-1.08911727))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.46328751269526-0.46326783876273)×R²
    abs(-0.95193095--0.95197889)×1.96739325297735e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.96739325297735e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.96739325297735e-05×40589641000000     		ar = 20012.7876581021m²