Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45674 / 94826
↖ ↑ ↗
← S 62.403096°
W 54.552612°		 ← 141.49 m → S 62.403096°
W 54.549866°		 →
↑
141.50 m
↓
↑
141.50 m
↓
S 62.404368°
W 54.552612°		 ← 141.48 m →
20 020 m²		 S 62.404368°
W 54.549866°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45674 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94826 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.348468780517578 y=0.723468780517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.348468780517578 × 217)
    floor (0.348468780517578 × 131072)
    floor (45674.5)     		tx = 45674
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723468780517578 × 217)
    floor (0.723468780517578 × 131072)
    floor (94826.5)     		ty = 94826
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45674 / 94826 ti = "17/45674/94826"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45674/94826.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45674 ÷ 217
    45674 ÷ 131072     		x = 0.348464965820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94826 ÷ 217
    94826 ÷ 131072     		y = 0.723464965820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.348464965820312 × 2 - 1) × π
    -0.303070068359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.95212270
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.723464965820312 × 2 - 1) × π
    -0.446929931640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.40407178987144
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95212270} λ = -0.95212270}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40407178987144))-π/2
    2×atan(0.245594914373595)-π/2
    2×0.240828422302272-π/2
    0.481656844604544-1.57079632675     		φ = -1.08913948
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95212270} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.552612°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08913948 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.403096°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45674 KachelY 94826 -0.95212270 -1.08913948 -54.552612 -62.403096
    Oben rechts KachelX + 1 45675 KachelY 94826 -0.95207476 -1.08913948 -54.549866 -62.403096
    Unten links KachelX 45674 KachelY + 1 94827 -0.95212270 -1.08916169 -54.552612 -62.404368
    Unten rechts KachelX + 1 45675 KachelY + 1 94827 -0.95207476 -1.08916169 -54.549866 -62.404368
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08913948--1.08916169) × R
    2.22100000000225e-05 × 6371000     		dl = 141.499910000143m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08913948--1.08916169) × R
    2.22100000000225e-05 × 6371000     		dr = 141.499910000143m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95212270--0.95207476) × cos(-1.08913948) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.463248155739597 × 6371000     		do = 141.487910770309m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95212270--0.95207476) × cos(-1.08916169) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.463228472487952 × 6371000     		du = 141.48189899861m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08913948)-sin(-1.08916169))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.463248155739597-0.463228472487952)×R²
    abs(-0.95207476--0.95212270)×1.96832516456413e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.96832516456413e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.96832516456413e-05×40589641000000     		ar = 20020.1013081848m²