Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45672 / 94828
↖ ↑ ↗
← S 62.405640°
W 54.558105°		 ← 141.45 m → S 62.405640°
W 54.555359°		 →
↑
141.50 m
↓
↑
141.50 m
↓
S 62.406913°
W 54.558105°		 ← 141.44 m →
20 014 m²		 S 62.406913°
W 54.555359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45672 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94828 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.348453521728516 y=0.723484039306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.348453521728516 × 217)
    floor (0.348453521728516 × 131072)
    floor (45672.5)     		tx = 45672
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723484039306641 × 217)
    floor (0.723484039306641 × 131072)
    floor (94828.5)     		ty = 94828
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45672 / 94828 ti = "17/45672/94828"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45672/94828.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45672 ÷ 217
    45672 ÷ 131072     		x = 0.34844970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94828 ÷ 217
    94828 ÷ 131072     		y = 0.723480224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34844970703125 × 2 - 1) × π
    -0.3031005859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.95221857
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.723480224609375 × 2 - 1) × π
    -0.44696044921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.40416766367068
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95221857} λ = -0.95221857}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40416766367068))-π/2
    2×atan(0.245571369384772)-π/2
    2×0.240806216565412-π/2
    0.481612433130825-1.57079632675     		φ = -1.08918389
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95221857} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.558105°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08918389 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.405640°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45672 KachelY 94828 -0.95221857 -1.08918389 -54.558105 -62.405640
    Oben rechts KachelX + 1 45673 KachelY 94828 -0.95217064 -1.08918389 -54.555359 -62.405640
    Unten links KachelX 45672 KachelY + 1 94829 -0.95221857 -1.08920610 -54.558105 -62.406913
    Unten rechts KachelX + 1 45673 KachelY + 1 94829 -0.95217064 -1.08920610 -54.555359 -62.406913
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08918389--1.08920610) × R
    2.22100000000225e-05 × 6371000     		dl = 141.499910000143m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08918389--1.08920610) × R
    2.22100000000225e-05 × 6371000     		dr = 141.499910000143m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95221857--0.95217064) × cos(-1.08918389) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.463208797870295 × 6371000     		do = 141.44637883162m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95221857--0.95217064) × cos(-1.08920610) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.463189114161755 × 6371000     		du = 141.440368174422m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08918389)-sin(-1.08920610))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.463208797870295-0.463189114161755)×R²
    abs(-0.95217064--0.95221857)×1.96837085394974e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.96837085394974e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.96837085394974e-05×40589641000000     		ar = 20014.2246217383m²