Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 45671 / 94832
↖ ↑ ↗
← S 62.410729°
W 54.560852°		 ← 141.45 m → S 62.410729°
W 54.558105°		 →
↑
141.44 m
↓
↑
141.44 m
↓
S 62.412001°
W 54.560852°		 ← 141.45 m →
20 006 m²		 S 62.412001°
W 54.558105°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45671 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94832 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.348445892333984 y=0.723514556884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.348445892333984 × 217)
    floor (0.348445892333984 × 131072)
    floor (45671.5)     		tx = 45671
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723514556884766 × 217)
    floor (0.723514556884766 × 131072)
    floor (94832.5)     		ty = 94832
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45671 / 94832 ti = "17/45671/94832"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45671/94832.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45671 ÷ 217
    45671 ÷ 131072     		x = 0.348442077636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94832 ÷ 217
    94832 ÷ 131072     		y = 0.7235107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.348442077636719 × 2 - 1) × π
    -0.303115844726562 × 3.1415926535     		Λ = -0.95226651
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7235107421875 × 2 - 1) × π
    -0.447021484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.40435941126917
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95226651} λ = -0.95226651}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40435941126917))-π/2
    2×atan(0.245524286178627)-π/2
    2×0.240761810751672-π/2
    0.481523621503344-1.57079632675     		φ = -1.08927271
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95226651} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.560852°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08927271 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.410729°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45671 KachelY 94832 -0.95226651 -1.08927271 -54.560852 -62.410729
    Oben rechts KachelX + 1 45672 KachelY 94832 -0.95221857 -1.08927271 -54.558105 -62.410729
    Unten links KachelX 45671 KachelY + 1 94833 -0.95226651 -1.08929491 -54.560852 -62.412001
    Unten rechts KachelX + 1 45672 KachelY + 1 94833 -0.95221857 -1.08929491 -54.558105 -62.412001
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08927271--1.08929491) × R
    2.22000000000833e-05 × 6371000     		dl = 141.43620000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08927271--1.08929491) × R
    2.22000000000833e-05 × 6371000     		dr = 141.43620000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95226651--0.95221857) × cos(-1.08927271) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.463130079391079 × 6371000     		do = 141.451847214186m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95226651--0.95221857) × cos(-1.08929491) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.463110403631874 × 6371000     		du = 141.445837730871m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08927271)-sin(-1.08929491))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.463130079391079-0.463110403631874)×R²
    abs(-0.95221857--0.95226651)×1.96757592049179e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.96757592049179e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.96757592049179e-05×40589641000000     		ar = 20005.9867745367m²