Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45670 / 94830
↖ ↑ ↗
← S 62.408185°
W 54.563599°		 ← 141.46 m → S 62.408185°
W 54.560852°		 →
↑
141.44 m
↓
↑
141.44 m
↓
S 62.409456°
W 54.563599°		 ← 141.46 m →
20 008 m²		 S 62.409456°
W 54.560852°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45670 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94830 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.348438262939453 y=0.723499298095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.348438262939453 × 217)
    floor (0.348438262939453 × 131072)
    floor (45670.5)     		tx = 45670
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723499298095703 × 217)
    floor (0.723499298095703 × 131072)
    floor (94830.5)     		ty = 94830
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45670 / 94830 ti = "17/45670/94830"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45670/94830.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45670 ÷ 217
    45670 ÷ 131072     		x = 0.348434448242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94830 ÷ 217
    94830 ÷ 131072     		y = 0.723495483398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.348434448242188 × 2 - 1) × π
    -0.303131103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.95231445
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.723495483398438 × 2 - 1) × π
    -0.446990966796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.40426353746993
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95231445} λ = -0.95231445}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40426353746993))-π/2
    2×atan(0.245547826653188)-π/2
    2×0.240784012715251-π/2
    0.481568025430502-1.57079632675     		φ = -1.08922830
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95231445} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.563599°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08922830 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.408185°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45670 KachelY 94830 -0.95231445 -1.08922830 -54.563599 -62.408185
    Oben rechts KachelX + 1 45671 KachelY 94830 -0.95226651 -1.08922830 -54.560852 -62.408185
    Unten links KachelX 45670 KachelY + 1 94831 -0.95231445 -1.08925050 -54.563599 -62.409456
    Unten rechts KachelX + 1 45671 KachelY + 1 94831 -0.95226651 -1.08925050 -54.560852 -62.409456
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08922830--1.08925050) × R
    2.21999999998612e-05 × 6371000     		dl = 141.436199999116m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08922830--1.08925050) × R
    2.21999999998612e-05 × 6371000     		dr = 141.436199999116m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95231445--0.95226651) × cos(-1.08922830) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.463169439087429 × 6371000     		do = 141.463868678898m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95231445--0.95226651) × cos(-1.08925050) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.463149763784835 × 6371000     		du = 141.457859335043m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08922830)-sin(-1.08925050))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.463169439087429-0.463149763784835)×R²
    abs(-0.95226651--0.95231445)×1.96753025941132e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.96753025941132e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.96753025941132e-05×40589641000000     		ar = 20007.6870545598m²