Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4567 / 4903
↖ ↑ ↗
← S 33.394759°
E 20.698242°		 ← 4 079.72 m → S 33.394759°
E 20.742188°		 →
↑
4 078.84 m
↓
↑
4 078.84 m
↓
S 33.431441°
E 20.698242°		 ← 4 078 m →
16 637 037 m²		 S 33.431441°
E 20.742188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4567 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4903 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.55755615234375 y=0.59857177734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.55755615234375 × 213)
    floor (0.55755615234375 × 8192)
    floor (4567.5)     		tx = 4567
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.59857177734375 × 213)
    floor (0.59857177734375 × 8192)
    floor (4903.5)     		ty = 4903
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4567 / 4903 ti = "13/4567/4903"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4567/4903.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4567 ÷ 213
    4567 ÷ 8192     		x = 0.5574951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4903 ÷ 213
    4903 ÷ 8192     		y = 0.5985107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5574951171875 × 2 - 1) × π
    0.114990234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.36125248
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5985107421875 × 2 - 1) × π
    -0.197021484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.618961247894165
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36125248} λ = 0.36125248}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.618961247894165))-π/2
    2×atan(0.538503518835185)-π/2
    2×0.493973912767376-π/2
    0.987947825534752-1.57079632675     		φ = -0.58284850
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36125248} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.698242°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58284850 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.394759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4567 KachelY 4903 0.36125248 -0.58284850 20.698242 -33.394759
    Oben rechts KachelX + 1 4568 KachelY 4903 0.36201947 -0.58284850 20.742188 -33.394759
    Unten links KachelX 4567 KachelY + 1 4904 0.36125248 -0.58348872 20.698242 -33.431441
    Unten rechts KachelX + 1 4568 KachelY + 1 4904 0.36201947 -0.58348872 20.742188 -33.431441
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58284850--0.58348872) × R
    0.000640219999999969 × 6371000     		dl = 4078.8416199998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58284850--0.58348872) × R
    0.000640219999999969 × 6371000     		dr = 4078.8416199998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36125248-0.36201947) × cos(-0.58284850) × R
    0.000766990000000023 × 0.834898212335571 × 6371000     		do = 4079.72451241089m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36125248-0.36201947) × cos(-0.58348872) × R
    0.000766990000000023 × 0.834545661366529 × 6371000     		du = 4078.00177446628m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58284850)-sin(-0.58348872))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.834898212335571-0.834545661366529)×R²
    abs(0.36201947-0.36125248)×0.000352550969041854×R²
    0.000766990000000023×0.000352550969041854×6371000²
    0.000766990000000023×0.000352550969041854×40589641000000     		ar = 16637037.3200105m²