Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4566 / 4820
↖ ↑ ↗
← S 30.297018°
E 20.654297°		 ← 4 219.10 m → S 30.297018°
E 20.698242°		 →
↑
4 218.24 m
↓
↑
4 218.24 m
↓
S 30.334954°
E 20.654297°		 ← 4 217.47 m →
17 793 749 m²		 S 30.334954°
E 20.698242°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4566 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4820 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.55743408203125 y=0.58843994140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.55743408203125 × 213)
    floor (0.55743408203125 × 8192)
    floor (4566.5)     		tx = 4566
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.58843994140625 × 213)
    floor (0.58843994140625 × 8192)
    floor (4820.5)     		ty = 4820
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4566 / 4820 ti = "13/4566/4820"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4566/4820.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4566 ÷ 213
    4566 ÷ 8192     		x = 0.557373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4820 ÷ 213
    4820 ÷ 8192     		y = 0.58837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557373046875 × 2 - 1) × π
    0.11474609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.36048549
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58837890625 × 2 - 1) × π
    -0.1767578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.55530104519873
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36048549} λ = 0.36048549}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.55530104519873))-π/2
    2×atan(0.573899465509439)-π/2
    2×0.521006805604077-π/2
    1.04201361120815-1.57079632675     		φ = -0.52878272
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36048549} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.654297°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52878272 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.297018°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4566 KachelY 4820 0.36048549 -0.52878272 20.654297 -30.297018
    Oben rechts KachelX + 1 4567 KachelY 4820 0.36125248 -0.52878272 20.698242 -30.297018
    Unten links KachelX 4566 KachelY + 1 4821 0.36048549 -0.52944482 20.654297 -30.334954
    Unten rechts KachelX + 1 4567 KachelY + 1 4821 0.36125248 -0.52944482 20.698242 -30.334954
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52878272--0.52944482) × R
    0.000662099999999999 × 6371000     		dl = 4218.23909999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52878272--0.52944482) × R
    0.000662099999999999 × 6371000     		dr = 4218.23909999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36048549-0.36125248) × cos(-0.52878272) × R
    0.000766989999999967 × 0.863421806747373 × 6371000     		do = 4219.10486511053m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36048549-0.36125248) × cos(-0.52944482) × R
    0.000766989999999967 × 0.863087599531434 × 6371000     		du = 4217.47176379238m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52878272)-sin(-0.52944482))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.863421806747373-0.863087599531434)×R²
    abs(0.36125248-0.36048549)×0.000334207215938576×R²
    0.000766989999999967×0.000334207215938576×6371000²
    0.000766989999999967×0.000334207215938576×40589641000000     		ar = 17793749.3531211m²