Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45657 / 94821
↖ ↑ ↗
← S 62.396733°
W 54.599304°		 ← 141.52 m → S 62.396733°
W 54.596558°		 →
↑
141.50 m
↓
↑
141.50 m
↓
S 62.398006°
W 54.599304°		 ← 141.51 m →
20 024 m²		 S 62.398006°
W 54.596558°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45657 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94821 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.348339080810547 y=0.723430633544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.348339080810547 × 217)
    floor (0.348339080810547 × 131072)
    floor (45657.5)     		tx = 45657
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723430633544922 × 217)
    floor (0.723430633544922 × 131072)
    floor (94821.5)     		ty = 94821
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45657 / 94821 ti = "17/45657/94821"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45657/94821.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45657 ÷ 217
    45657 ÷ 131072     		x = 0.348335266113281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94821 ÷ 217
    94821 ÷ 131072     		y = 0.723426818847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.348335266113281 × 2 - 1) × π
    -0.303329467773438 × 3.1415926535     		Λ = -0.95293763
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.723426818847656 × 2 - 1) × π
    -0.446853637695312 × 3.1415926535     		Φ = -1.40383210537334
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95293763} λ = -0.95293763}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40383210537334))-π/2
    2×atan(0.245653786722495)-π/2
    2×0.240883944899492-π/2
    0.481767889798984-1.57079632675     		φ = -1.08902844
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95293763} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.599304°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08902844 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.396733°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45657 KachelY 94821 -0.95293763 -1.08902844 -54.599304 -62.396733
    Oben rechts KachelX + 1 45658 KachelY 94821 -0.95288969 -1.08902844 -54.596558 -62.396733
    Unten links KachelX 45657 KachelY + 1 94822 -0.95293763 -1.08905065 -54.599304 -62.398006
    Unten rechts KachelX + 1 45658 KachelY + 1 94822 -0.95288969 -1.08905065 -54.596558 -62.398006
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08902844--1.08905065) × R
    2.22099999998004e-05 × 6371000     		dl = 141.499909998729m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08902844--1.08905065) × R
    2.22099999998004e-05 × 6371000     		dr = 141.499909998729m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95293763--0.95288969) × cos(-1.08902844) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.463346559708166 × 6371000     		do = 141.517965875228m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95293763--0.95288969) × cos(-1.08905065) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.463326877599079 × 6371000     		du = 141.511954452495m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08902844)-sin(-1.08905065))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.463346559708166-0.463326877599079)×R²
    abs(-0.95288969--0.95293763)×1.96821090865384e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.96821090865384e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.96821090865384e-05×40589641000000     		ar = 20024.3541275351m²