Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4565 / 5973
↖ ↑ ↗
← S 63.332413°
E 20.610351°		 ← 2 193.15 m → S 63.332413°
E 20.654297°		 →
↑
2 192.32 m
↓
↑
2 192.32 m
↓
S 63.352129°
E 20.610351°		 ← 2 191.65 m →
4 806 456 m²		 S 63.352129°
E 20.654297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4565 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5973 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.55731201171875 y=0.72918701171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.55731201171875 × 213)
    floor (0.55731201171875 × 8192)
    floor (4565.5)     		tx = 4565
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.72918701171875 × 213)
    floor (0.72918701171875 × 8192)
    floor (5973.5)     		ty = 5973
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4565 / 5973 ti = "13/4565/5973"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4565/5973.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4565 ÷ 213
    4565 ÷ 8192     		x = 0.5572509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5973 ÷ 213
    5973 ÷ 8192     		y = 0.7291259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5572509765625 × 2 - 1) × π
    0.114501953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.35971849
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7291259765625 × 2 - 1) × π
    -0.458251953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.43964096938953
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35971849} λ = 0.35971849}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43964096938953))-π/2
    2×atan(0.237012838272134)-π/2
    2×0.232718600180955-π/2
    0.46543720036191-1.57079632675     		φ = -1.10535913
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35971849} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.610351°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10535913 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.332413°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4565 KachelY 5973 0.35971849 -1.10535913 20.610351 -63.332413
    Oben rechts KachelX + 1 4566 KachelY 5973 0.36048549 -1.10535913 20.654297 -63.332413
    Unten links KachelX 4565 KachelY + 1 5974 0.35971849 -1.10570324 20.610351 -63.352129
    Unten rechts KachelX + 1 4566 KachelY + 1 5974 0.36048549 -1.10570324 20.654297 -63.352129
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10535913--1.10570324) × R
    0.000344109999999898 × 6371000     		dl = 2192.32480999935m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10535913--1.10570324) × R
    0.000344109999999898 × 6371000     		dr = 2192.32480999935m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35971849-0.36048549) × cos(-1.10535913) × R
    0.000767000000000018 × 0.448813534500879 × 6371000     		do = 2193.15291871006m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35971849-0.36048549) × cos(-1.10570324) × R
    0.000767000000000018 × 0.44850600248744 × 6371000     		du = 2191.65014599707m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10535913)-sin(-1.10570324))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.448813534500879-0.44850600248744)×R²
    abs(0.36048549-0.35971849)×0.000307532013438749×R²
    0.000767000000000018×0.000307532013438749×6371000²
    0.000767000000000018×0.000307532013438749×40589641000000     		ar = 4806456.32028707m²