Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4565 / 5652
↖ ↑ ↗
← N 75.442030°
W129.847412°		 ← 307.07 m → N 75.442030°
W129.836426°		 →
↑
307.15 m
↓
↑
307.15 m
↓
N 75.439267°
W129.847412°		 ← 307.13 m →
94 324 m²		 N 75.439267°
W129.836426°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4565 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5652 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.139328002929688 y=0.172500610351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.139328002929688 × 215)
    floor (0.139328002929688 × 32768)
    floor (4565.5)     		tx = 4565
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.172500610351562 × 215)
    floor (0.172500610351562 × 32768)
    floor (5652.5)     		ty = 5652
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4565 / 5652 ti = "15/4565/5652"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4565/5652.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4565 ÷ 215
    4565 ÷ 32768     		x = 0.139312744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5652 ÷ 215
    5652 ÷ 32768     		y = 0.1724853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.139312744140625 × 2 - 1) × π
    -0.72137451171875 × 3.1415926535     		Λ = -2.26626487
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1724853515625 × 2 - 1) × π
    0.655029296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.05783522688977
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.26626487} λ = -2.26626487}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.05783522688977))-π/2
    2×atan(7.82900343664986)-π/2
    2×1.44375406675503-π/2
    2.88750813351006-1.57079632675     		φ = 1.31671181
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.26626487} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.847412°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31671181 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.442030°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4565 KachelY 5652 -2.26626487 1.31671181 -129.847412 75.442030
    Oben rechts KachelX + 1 4566 KachelY 5652 -2.26607312 1.31671181 -129.836426 75.442030
    Unten links KachelX 4565 KachelY + 1 5653 -2.26626487 1.31666360 -129.847412 75.439267
    Unten rechts KachelX + 1 4566 KachelY + 1 5653 -2.26607312 1.31666360 -129.836426 75.439267
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31671181-1.31666360) × R
    4.8209999999882e-05 × 6371000     		dl = 307.145909999248m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31671181-1.31666360) × R
    4.8209999999882e-05 × 6371000     		dr = 307.145909999248m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.26626487--2.26607312) × cos(1.31671181) × R
    0.000191749999999935 × 0.251359423558095 × 6371000     		do = 307.07053767584m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.26626487--2.26607312) × cos(1.31666360) × R
    0.000191749999999935 × 0.251406085426869 × 6371000     		du = 307.127541646212m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31671181)-sin(1.31666360))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.251359423558095-0.251406085426869)×R²
    abs(-2.26607312--2.26626487)×4.66618687741671e-05×R²
    0.000191749999999935×4.66618687741671e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.66618687741671e-05×40589641000000     		ar = 94324.2140153853m²