Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45647 / 94817
↖ ↑ ↗
← S 62.391642°
W 54.626770°		 ← 141.54 m → S 62.391642°
W 54.624023°		 →
↑
141.56 m
↓
↑
141.56 m
↓
S 62.392915°
W 54.626770°		 ← 141.54 m →
20 037 m²		 S 62.392915°
W 54.624023°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45647 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94817 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.348262786865234 y=0.723400115966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.348262786865234 × 217)
    floor (0.348262786865234 × 131072)
    floor (45647.5)     		tx = 45647
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723400115966797 × 217)
    floor (0.723400115966797 × 131072)
    floor (94817.5)     		ty = 94817
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45647 / 94817 ti = "17/45647/94817"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45647/94817.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45647 ÷ 217
    45647 ÷ 131072     		x = 0.348258972167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94817 ÷ 217
    94817 ÷ 131072     		y = 0.723396301269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.348258972167969 × 2 - 1) × π
    -0.303482055664062 × 3.1415926535     		Λ = -0.95341700
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.723396301269531 × 2 - 1) × π
    -0.446792602539062 × 3.1415926535     		Φ = -1.40364035777486
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95341700} λ = -0.95341700}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40364035777486))-π/2
    2×atan(0.245700894762439)-π/2
    2×0.24092837146916-π/2
    0.481856742938319-1.57079632675     		φ = -1.08893958
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95341700} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.626770°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08893958 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.391642°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45647 KachelY 94817 -0.95341700 -1.08893958 -54.626770 -62.391642
    Oben rechts KachelX + 1 45648 KachelY 94817 -0.95336906 -1.08893958 -54.624023 -62.391642
    Unten links KachelX 45647 KachelY + 1 94818 -0.95341700 -1.08896180 -54.626770 -62.392915
    Unten rechts KachelX + 1 45648 KachelY + 1 94818 -0.95336906 -1.08896180 -54.624023 -62.392915
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08893958--1.08896180) × R
    2.22200000001838e-05 × 6371000     		dl = 141.563620001171m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08893958--1.08896180) × R
    2.22200000001838e-05 × 6371000     		dr = 141.563620001171m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95341700--0.95336906) × cos(-1.08893958) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.46342530358152 × 6371000     		do = 141.542016281018m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95341700--0.95336906) × cos(-1.08896180) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.463405613525481 × 6371000     		du = 141.536002431081m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08893958)-sin(-1.08896180))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.46342530358152-0.463405613525481)×R²
    abs(-0.95336906--0.95341700)×1.9690056039634e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.9690056039634e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.9690056039634e-05×40589641000000     		ar = 20036.7745366824m²