Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 45644 / 94812
↖ ↑ ↗
← S 62.385278°
W 54.635010°		 ← 141.57 m → S 62.385278°
W 54.632263°		 →
↑
141.56 m
↓
↑
141.56 m
↓
S 62.386551°
W 54.635010°		 ← 141.57 m →
20 041 m²		 S 62.386551°
W 54.632263°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45644 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94812 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.348239898681641 y=0.723361968994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.348239898681641 × 217)
    floor (0.348239898681641 × 131072)
    floor (45644.5)     		tx = 45644
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723361968994141 × 217)
    floor (0.723361968994141 × 131072)
    floor (94812.5)     		ty = 94812
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45644 / 94812 ti = "17/45644/94812"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45644/94812.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45644 ÷ 217
    45644 ÷ 131072     		x = 0.348236083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94812 ÷ 217
    94812 ÷ 131072     		y = 0.723358154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.348236083984375 × 2 - 1) × π
    -0.30352783203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.95356081
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.723358154296875 × 2 - 1) × π
    -0.44671630859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.40340067327676
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95356081} λ = -0.95356081}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40340067327676))-π/2
    2×atan(0.245759792516241)-π/2
    2×0.240983915297637-π/2
    0.481967830595273-1.57079632675     		φ = -1.08882850
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95356081} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.635010°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08882850 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.385278°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45644 KachelY 94812 -0.95356081 -1.08882850 -54.635010 -62.385278
    Oben rechts KachelX + 1 45645 KachelY 94812 -0.95351287 -1.08882850 -54.632263 -62.385278
    Unten links KachelX 45644 KachelY + 1 94813 -0.95356081 -1.08885072 -54.635010 -62.386551
    Unten rechts KachelX + 1 45645 KachelY + 1 94813 -0.95351287 -1.08885072 -54.632263 -62.386551
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08882850--1.08885072) × R
    2.22199999999617e-05 × 6371000     		dl = 141.563619999756m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08882850--1.08885072) × R
    2.22199999999617e-05 × 6371000     		dr = 141.563619999756m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95356081--0.95351287) × cos(-1.08882850) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.46352373270774 × 6371000     		do = 141.572079070059m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95356081--0.95351287) × cos(-1.08885072) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.463504043795623 × 6371000     		du = 141.566065569505m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08882850)-sin(-1.08885072))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.46352373270774-0.463504043795623)×R²
    abs(-0.95351287--0.95356081)×1.96889121170107e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.96889121170107e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.96889121170107e-05×40589641000000     		ar = 20041.030358313m²