Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4564 / 5653
↖ ↑ ↗
← N 75.439267°
W129.858398°		 ← 307.11 m → N 75.439267°
W129.847412°		 →
↑
307.15 m
↓
↑
307.15 m
↓
N 75.436505°
W129.858398°		 ← 307.17 m →
94 337 m²		 N 75.436505°
W129.847412°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4564 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5653 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.139297485351562 y=0.172531127929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.139297485351562 × 215)
    floor (0.139297485351562 × 32768)
    floor (4564.5)     		tx = 4564
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.172531127929688 × 215)
    floor (0.172531127929688 × 32768)
    floor (5653.5)     		ty = 5653
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4564 / 5653 ti = "15/4564/5653"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4564/5653.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4564 ÷ 215
    4564 ÷ 32768     		x = 0.1392822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5653 ÷ 215
    5653 ÷ 32768     		y = 0.172515869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1392822265625 × 2 - 1) × π
    -0.721435546875 × 3.1415926535     		Λ = -2.26645661
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.172515869140625 × 2 - 1) × π
    0.65496826171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.05764347929129
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.26645661} λ = -2.26645661}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.05764347929129))-π/2
    2×atan(7.82750238795823)-π/2
    2×1.44372996573542-π/2
    2.88745993147085-1.57079632675     		φ = 1.31666360
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.26645661} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.858398°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31666360 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.439267°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4564 KachelY 5653 -2.26645661 1.31666360 -129.858398 75.439267
    Oben rechts KachelX + 1 4565 KachelY 5653 -2.26626487 1.31666360 -129.847412 75.439267
    Unten links KachelX 4564 KachelY + 1 5654 -2.26645661 1.31661539 -129.858398 75.436505
    Unten rechts KachelX + 1 4565 KachelY + 1 5654 -2.26626487 1.31661539 -129.847412 75.436505
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31666360-1.31661539) × R
    4.8210000000104e-05 × 6371000     		dl = 307.145910000663m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31666360-1.31661539) × R
    4.8210000000104e-05 × 6371000     		dr = 307.145910000663m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.26645661--2.26626487) × cos(1.31666360) × R
    0.000191739999999996 × 0.251406085426869 × 6371000     		do = 307.111524564607m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.26645661--2.26626487) × cos(1.31661539) × R
    0.000191739999999996 × 0.251452746711325 × 6371000     		du = 307.168524848363m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31666360)-sin(1.31661539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.251406085426869-0.251452746711325)×R²
    abs(-2.26626487--2.26645661)×4.66612844553516e-05×R²
    0.000191739999999996×4.66612844553516e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.66612844553516e-05×40589641000000     		ar = 94336.8024039549m²