Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4564 / 4909
↖ ↑ ↗
← S 33.614619°
E 20.566406°		 ← 4 069.37 m → S 33.614619°
E 20.610351°		 →
↑
4 068.52 m
↓
↑
4 068.52 m
↓
S 33.651208°
E 20.566406°		 ← 4 067.65 m →
16 552 816 m²		 S 33.651208°
E 20.610351°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4564 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4909 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.55718994140625 y=0.59930419921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.55718994140625 × 213)
    floor (0.55718994140625 × 8192)
    floor (4564.5)     		tx = 4564
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.59930419921875 × 213)
    floor (0.59930419921875 × 8192)
    floor (4909.5)     		ty = 4909
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4564 / 4909 ti = "13/4564/4909"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4564/4909.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4564 ÷ 213
    4564 ÷ 8192     		x = 0.55712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4909 ÷ 213
    4909 ÷ 8192     		y = 0.5992431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55712890625 × 2 - 1) × π
    0.1142578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.35895150
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5992431640625 × 2 - 1) × π
    -0.198486328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.62356319025769
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35895150} λ = 0.35895150}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.62356319025769))-π/2
    2×atan(0.536031050121675)-π/2
    2×0.492055271677054-π/2
    0.984110543354108-1.57079632675     		φ = -0.58668578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35895150} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.566406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58668578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.614619°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4564 KachelY 4909 0.35895150 -0.58668578 20.566406 -33.614619
    Oben rechts KachelX + 1 4565 KachelY 4909 0.35971849 -0.58668578 20.610351 -33.614619
    Unten links KachelX 4564 KachelY + 1 4910 0.35895150 -0.58732438 20.566406 -33.651208
    Unten rechts KachelX + 1 4565 KachelY + 1 4910 0.35971849 -0.58732438 20.610351 -33.651208
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58668578--0.58732438) × R
    0.000638599999999934 × 6371000     		dl = 4068.52059999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58668578--0.58732438) × R
    0.000638599999999934 × 6371000     		dr = 4068.52059999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35895150-0.35971849) × cos(-0.58668578) × R
    0.000766990000000023 × 0.832780015009381 × 6371000     		do = 4069.37395538956m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35895150-0.35971849) × cos(-0.58732438) × R
    0.000766990000000023 × 0.832426313677695 × 6371000     		du = 4067.64559620561m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58668578)-sin(-0.58732438))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.832780015009381-0.832426313677695)×R²
    abs(0.35971849-0.35895150)×0.000353701331685996×R²
    0.000766990000000023×0.000353701331685996×6371000²
    0.000766990000000023×0.000353701331685996×40589641000000     		ar = 16552816.3966655m²