Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4564 / 4756
↖ ↑ ↗
← S 27.839076°
E 20.566406°		 ← 4 320.94 m → S 27.839076°
E 20.610351°		 →
↑
4 320.18 m
↓
↑
4 320.18 m
↓
S 27.877928°
E 20.566406°		 ← 4 319.40 m →
18 663 889 m²		 S 27.877928°
E 20.610351°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4564 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4756 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.55718994140625 y=0.58062744140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.55718994140625 × 213)
    floor (0.55718994140625 × 8192)
    floor (4564.5)     		tx = 4564
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.58062744140625 × 213)
    floor (0.58062744140625 × 8192)
    floor (4756.5)     		ty = 4756
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4564 / 4756 ti = "13/4564/4756"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4564/4756.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4564 ÷ 213
    4564 ÷ 8192     		x = 0.55712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4756 ÷ 213
    4756 ÷ 8192     		y = 0.58056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55712890625 × 2 - 1) × π
    0.1142578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.35895150
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58056640625 × 2 - 1) × π
    -0.1611328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.506213659987793
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35895150} λ = 0.35895150}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.506213659987793))-π/2
    2×atan(0.602773569150951)-π/2
    2×0.542456394120286-π/2
    1.08491278824057-1.57079632675     		φ = -0.48588354
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35895150} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.566406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48588354 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.839076°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4564 KachelY 4756 0.35895150 -0.48588354 20.566406 -27.839076
    Oben rechts KachelX + 1 4565 KachelY 4756 0.35971849 -0.48588354 20.610351 -27.839076
    Unten links KachelX 4564 KachelY + 1 4757 0.35895150 -0.48656164 20.566406 -27.877928
    Unten rechts KachelX + 1 4565 KachelY + 1 4757 0.35971849 -0.48656164 20.610351 -27.877928
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48588354--0.48656164) × R
    0.000678100000000015 × 6371000     		dl = 4320.17510000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48588354--0.48656164) × R
    0.000678100000000015 × 6371000     		dr = 4320.17510000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35895150-0.35971849) × cos(-0.48588354) × R
    0.000766990000000023 × 0.884262690120614 × 6371000     		do = 4320.94370187186m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35895150-0.35971849) × cos(-0.48656164) × R
    0.000766990000000023 × 0.883945821045196 × 6371000     		du = 4319.39532326102m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48588354)-sin(-0.48656164))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884262690120614-0.883945821045196)×R²
    abs(0.35971849-0.35895150)×0.000316869075417503×R²
    0.000766990000000023×0.000316869075417503×6371000²
    0.000766990000000023×0.000316869075417503×40589641000000     		ar = 18663889.4711386m²