Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45636 / 94813
↖ ↑ ↗
← S 62.386551°
W 54.656982°		 ← 141.54 m → S 62.386551°
W 54.654236°		 →
↑
141.50 m
↓
↑
141.50 m
↓
S 62.387823°
W 54.656982°		 ← 141.53 m →
20 027 m²		 S 62.387823°
W 54.654236°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45636 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94813 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.348178863525391 y=0.723369598388672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.348178863525391 × 217)
    floor (0.348178863525391 × 131072)
    floor (45636.5)     		tx = 45636
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723369598388672 × 217)
    floor (0.723369598388672 × 131072)
    floor (94813.5)     		ty = 94813
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45636 / 94813 ti = "17/45636/94813"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45636/94813.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45636 ÷ 217
    45636 ÷ 131072     		x = 0.348175048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94813 ÷ 217
    94813 ÷ 131072     		y = 0.723365783691406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.348175048828125 × 2 - 1) × π
    -0.30364990234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.95394430
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.723365783691406 × 2 - 1) × π
    -0.446731567382812 × 3.1415926535     		Φ = -1.40344861017638
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95394430} λ = -0.95394430}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40344861017638))-π/2
    2×atan(0.245748011836103)-π/2
    2×0.240972805588184-π/2
    0.481945611176368-1.57079632675     		φ = -1.08885072
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95394430} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.656982°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08885072 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.386551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45636 KachelY 94813 -0.95394430 -1.08885072 -54.656982 -62.386551
    Oben rechts KachelX + 1 45637 KachelY 94813 -0.95389637 -1.08885072 -54.654236 -62.386551
    Unten links KachelX 45636 KachelY + 1 94814 -0.95394430 -1.08887293 -54.656982 -62.387823
    Unten rechts KachelX + 1 45637 KachelY + 1 94814 -0.95389637 -1.08887293 -54.654236 -62.387823
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08885072--1.08887293) × R
    2.22100000000225e-05 × 6371000     		dl = 141.499910000143m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08885072--1.08887293) × R
    2.22100000000225e-05 × 6371000     		dr = 141.499910000143m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95394430--0.95389637) × cos(-1.08885072) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.463504043795623 × 6371000     		do = 141.536535726399m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95394430--0.95389637) × cos(-1.08887293) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.463484363515711 × 6371000     		du = 141.530526116174m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08885072)-sin(-1.08887293))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.463504043795623-0.463484363515711)×R²
    abs(-0.95389637--0.95394430)×1.96802799112272e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.96802799112272e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.96802799112272e-05×40589641000000     		ar = 20026.9818882134m²