Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4563 / 5651
↖ ↑ ↗
← N 75.444791°
W129.869385°		 ← 307.01 m → N 75.444791°
W129.858398°		 →
↑
307.02 m
↓
↑
307.02 m
↓
N 75.442030°
W129.869385°		 ← 307.07 m →
94 268 m²		 N 75.442030°
W129.858398°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4563 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5651 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.139266967773438 y=0.172470092773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.139266967773438 × 215)
    floor (0.139266967773438 × 32768)
    floor (4563.5)     		tx = 4563
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.172470092773438 × 215)
    floor (0.172470092773438 × 32768)
    floor (5651.5)     		ty = 5651
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4563 / 5651 ti = "15/4563/5651"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4563/5651.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4563 ÷ 215
    4563 ÷ 32768     		x = 0.139251708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5651 ÷ 215
    5651 ÷ 32768     		y = 0.172454833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.139251708984375 × 2 - 1) × π
    -0.72149658203125 × 3.1415926535     		Λ = -2.26664836
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.172454833984375 × 2 - 1) × π
    0.65509033203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.05802697448825
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.26664836} λ = -2.26664836}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.05802697448825))-π/2
    2×atan(7.83050477319157)-π/2
    2×1.44377816330211-π/2
    2.88755632660423-1.57079632675     		φ = 1.31676000
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.26664836} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.869385°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31676000 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.444791°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4563 KachelY 5651 -2.26664836 1.31676000 -129.869385 75.444791
    Oben rechts KachelX + 1 4564 KachelY 5651 -2.26645661 1.31676000 -129.858398 75.444791
    Unten links KachelX 4563 KachelY + 1 5652 -2.26664836 1.31671181 -129.869385 75.442030
    Unten rechts KachelX + 1 4564 KachelY + 1 5652 -2.26645661 1.31671181 -129.858398 75.442030
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31676000-1.31671181) × R
    4.81900000000035e-05 × 6371000     		dl = 307.018490000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31676000-1.31671181) × R
    4.81900000000035e-05 × 6371000     		dr = 307.018490000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.26664836--2.26645661) × cos(1.31676000) × R
    0.000191749999999935 × 0.251312780463229 × 6371000     		do = 307.013556640409m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.26664836--2.26645661) × cos(1.31671181) × R
    0.000191749999999935 × 0.251359423558095 × 6371000     		du = 307.07053767584m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31676000)-sin(1.31671181))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.251312780463229-0.251359423558095)×R²
    abs(-2.26645661--2.26664836)×4.66430948663499e-05×R²
    0.000191749999999935×4.66430948663499e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.66430948663499e-05×40589641000000     		ar = 94267.5857029746m²