Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4563 / 4757
↖ ↑ ↗
← S 27.877928°
E 20.522461°		 ← 4 319.40 m → S 27.877928°
E 20.566406°		 →
↑
4 318.58 m
↓
↑
4 318.58 m
↓
S 27.916766°
E 20.522461°		 ← 4 317.85 m →
18 650 319 m²		 S 27.916766°
E 20.566406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4563 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4757 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.55706787109375 y=0.58074951171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.55706787109375 × 213)
    floor (0.55706787109375 × 8192)
    floor (4563.5)     		tx = 4563
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.58074951171875 × 213)
    floor (0.58074951171875 × 8192)
    floor (4757.5)     		ty = 4757
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4563 / 4757 ti = "13/4563/4757"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4563/4757.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4563 ÷ 213
    4563 ÷ 8192     		x = 0.5570068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4757 ÷ 213
    4757 ÷ 8192     		y = 0.5806884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5570068359375 × 2 - 1) × π
    0.114013671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.35818451
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5806884765625 × 2 - 1) × π
    -0.161376953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.506980650381714
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35818451} λ = 0.35818451}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.506980650381714))-π/2
    2×atan(0.602311424866472)-π/2
    2×0.542117344374991-π/2
    1.08423468874998-1.57079632675     		φ = -0.48656164
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35818451} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.522461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48656164 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.877928°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4563 KachelY 4757 0.35818451 -0.48656164 20.522461 -27.877928
    Oben rechts KachelX + 1 4564 KachelY 4757 0.35895150 -0.48656164 20.566406 -27.877928
    Unten links KachelX 4563 KachelY + 1 4758 0.35818451 -0.48723949 20.522461 -27.916766
    Unten rechts KachelX + 1 4564 KachelY + 1 4758 0.35895150 -0.48723949 20.566406 -27.916766
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48656164--0.48723949) × R
    0.00067784999999998 × 6371000     		dl = 4318.58234999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48656164--0.48723949) × R
    0.00067784999999998 × 6371000     		dr = 4318.58234999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35818451-0.35895150) × cos(-0.48656164) × R
    0.000766989999999967 × 0.883945821045196 × 6371000     		do = 4319.39532326071m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35818451-0.35895150) × cos(-0.48723949) × R
    0.000766989999999967 × 0.883628662561301 × 6371000     		du = 4317.84553045729m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48656164)-sin(-0.48723949))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.883945821045196-0.883628662561301)×R²
    abs(0.35895150-0.35818451)×0.000317158483894686×R²
    0.000766989999999967×0.000317158483894686×6371000²
    0.000766989999999967×0.000317158483894686×40589641000000     		ar = 18650318.665903m²