Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4563 / 12850
↖ ↑ ↗
← S 70.974028°
W 79.738770°		 ← 796.50 m → S 70.974028°
W 79.716797°		 →
↑
796.31 m
↓
↑
796.31 m
↓
S 70.981190°
W 79.738770°		 ← 796.21 m →
634 148 m²		 S 70.981190°
W 79.716797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4563 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12850 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278533935546875 y=0.784332275390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278533935546875 × 214)
    floor (0.278533935546875 × 16384)
    floor (4563.5)     		tx = 4563
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.784332275390625 × 214)
    floor (0.784332275390625 × 16384)
    floor (12850.5)     		ty = 12850
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4563 / 12850 ti = "14/4563/12850"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4563/12850.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4563 ÷ 214
    4563 ÷ 16384     		x = 0.27850341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12850 ÷ 214
    12850 ÷ 16384     		y = 0.7843017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27850341796875 × 2 - 1) × π
    -0.4429931640625 × 3.1415926535     		Λ = -1.39170407
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7843017578125 × 2 - 1) × π
    -0.568603515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.78632062744177
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39170407} λ = -1.39170407}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78632062744177))-π/2
    2×atan(0.167575609856194)-π/2
    2×0.166032924006928-π/2
    0.332065848013856-1.57079632675     		φ = -1.23873048
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39170407} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.738770°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23873048 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.974028°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4563 KachelY 12850 -1.39170407 -1.23873048 -79.738770 -70.974028
    Oben rechts KachelX + 1 4564 KachelY 12850 -1.39132057 -1.23873048 -79.716797 -70.974028
    Unten links KachelX 4563 KachelY + 1 12851 -1.39170407 -1.23885547 -79.738770 -70.981190
    Unten rechts KachelX + 1 4564 KachelY + 1 12851 -1.39132057 -1.23885547 -79.716797 -70.981190
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23873048--1.23885547) × R
    0.000124989999999991 × 6371000     		dl = 796.311289999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23873048--1.23885547) × R
    0.000124989999999991 × 6371000     		dr = 796.311289999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39170407--1.39132057) × cos(-1.23873048) × R
    0.000383500000000092 × 0.325996714085265 × 6371000     		do = 796.500762595367m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39170407--1.39132057) × cos(-1.23885547) × R
    0.000383500000000092 × 0.325878549630086 × 6371000     		du = 796.212053922564m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23873048)-sin(-1.23885547))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.325996714085265-0.325878549630086)×R²
    abs(-1.39132057--1.39170407)×0.000118164455178926×R²
    0.000383500000000092×0.000118164455178926×6371000²
    0.000383500000000092×0.000118164455178926×40589641000000     		ar = 634147.59958461m²