Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45621 / 94694
↖ ↑ ↗
← S 62.234674°
W 54.698181°		 ← 142.28 m → S 62.234674°
W 54.695435°		 →
↑
142.26 m
↓
↑
142.26 m
↓
S 62.235953°
W 54.698181°		 ← 142.28 m →
20 241 m²		 S 62.235953°
W 54.695435°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45621 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94694 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.348064422607422 y=0.722461700439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.348064422607422 × 217)
    floor (0.348064422607422 × 131072)
    floor (45621.5)     		tx = 45621
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722461700439453 × 217)
    floor (0.722461700439453 × 131072)
    floor (94694.5)     		ty = 94694
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45621 / 94694 ti = "17/45621/94694"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45621/94694.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45621 ÷ 217
    45621 ÷ 131072     		x = 0.348060607910156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94694 ÷ 217
    94694 ÷ 131072     		y = 0.722457885742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.348060607910156 × 2 - 1) × π
    -0.303878784179688 × 3.1415926535     		Λ = -0.95466336
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.722457885742188 × 2 - 1) × π
    -0.444915771484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.3977441191216
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95466336} λ = -0.95466336}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.3977441191216))-π/2
    2×atan(0.247153885255124)-π/2
    2×0.242298178260696-π/2
    0.484596356521392-1.57079632675     		φ = -1.08619997
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95466336} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.698181°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08619997 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.234674°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45621 KachelY 94694 -0.95466336 -1.08619997 -54.698181 -62.234674
    Oben rechts KachelX + 1 45622 KachelY 94694 -0.95461542 -1.08619997 -54.695435 -62.234674
    Unten links KachelX 45621 KachelY + 1 94695 -0.95466336 -1.08622230 -54.698181 -62.235953
    Unten rechts KachelX + 1 45622 KachelY + 1 94695 -0.95461542 -1.08622230 -54.695435 -62.235953
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08619997--1.08622230) × R
    2.23299999999593e-05 × 6371000     		dl = 142.264429999741m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08619997--1.08622230) × R
    2.23299999999593e-05 × 6371000     		dr = 142.264429999741m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95466336--0.95461542) × cos(-1.08619997) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.465851228447277 × 6371000     		do = 142.282956178325m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95466336--0.95461542) × cos(-1.08622230) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.465831469339031 × 6371000     		du = 142.276921238068m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08619997)-sin(-1.08622230))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.465851228447277-0.465831469339031)×R²
    abs(-0.95461542--0.95466336)×1.97591082463644e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.97591082463644e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.97591082463644e-05×40589641000000     		ar = 20241.374381533m²