Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 4562 / 12820
↖ ↑ ↗
← S 70.757966°
W 79.760742°		 ← 805.18 m → S 70.757966°
W 79.738770°		 →
↑
805.04 m
↓
↑
805.04 m
↓
S 70.765205°
W 79.760742°		 ← 804.89 m →
648 088 m²		 S 70.765205°
W 79.738770°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4562 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12820 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278472900390625 y=0.782501220703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278472900390625 × 214)
    floor (0.278472900390625 × 16384)
    floor (4562.5)     		tx = 4562
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.782501220703125 × 214)
    floor (0.782501220703125 × 16384)
    floor (12820.5)     		ty = 12820
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4562 / 12820 ti = "14/4562/12820"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4562/12820.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4562 ÷ 214
    4562 ÷ 16384     		x = 0.2784423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12820 ÷ 214
    12820 ÷ 16384     		y = 0.782470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2784423828125 × 2 - 1) × π
    -0.443115234375 × 3.1415926535     		Λ = -1.39208756
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.782470703125 × 2 - 1) × π
    -0.56494140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.77481577153296
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39208756} λ = -1.39208756}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77481577153296))-π/2
    2×atan(0.169514676051882)-π/2
    2×0.167918427307679-π/2
    0.335836854615358-1.57079632675     		φ = -1.23495947
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39208756} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.760742°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23495947 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.757966°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4562 KachelY 12820 -1.39208756 -1.23495947 -79.760742 -70.757966
    Oben rechts KachelX + 1 4563 KachelY 12820 -1.39170407 -1.23495947 -79.738770 -70.757966
    Unten links KachelX 4562 KachelY + 1 12821 -1.39208756 -1.23508583 -79.760742 -70.765205
    Unten rechts KachelX + 1 4563 KachelY + 1 12821 -1.39170407 -1.23508583 -79.738770 -70.765205
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23495947--1.23508583) × R
    0.000126360000000103 × 6371000     		dl = 805.039560000657m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23495947--1.23508583) × R
    0.000126360000000103 × 6371000     		dr = 805.039560000657m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39208756--1.39170407) × cos(-1.23495947) × R
    0.000383489999999931 × 0.329559390843107 × 6371000     		do = 805.184377891123m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39208756--1.39170407) × cos(-1.23508583) × R
    0.000383489999999931 × 0.329440087333239 × 6371000     		du = 804.892893791316m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23495947)-sin(-1.23508583))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.329559390843107-0.329440087333239)×R²
    abs(-1.39170407--1.39208756)×0.000119303509867608×R²
    0.000383489999999931×0.000119303509867608×6371000²
    0.000383489999999931×0.000119303509867608×40589641000000     		ar = 648087.950043025m²