Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 45612 / 94693
↖ ↑ ↗
← S 62.233395°
W 54.722901°		 ← 142.29 m → S 62.233395°
W 54.720154°		 →
↑
142.26 m
↓
↑
142.26 m
↓
S 62.234674°
W 54.722901°		 ← 142.28 m →
20 242 m²		 S 62.234674°
W 54.720154°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45612 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94693 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.347995758056641 y=0.722454071044922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.347995758056641 × 217)
    floor (0.347995758056641 × 131072)
    floor (45612.5)     		tx = 45612
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722454071044922 × 217)
    floor (0.722454071044922 × 131072)
    floor (94693.5)     		ty = 94693
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45612 / 94693 ti = "17/45612/94693"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45612/94693.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45612 ÷ 217
    45612 ÷ 131072     		x = 0.347991943359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94693 ÷ 217
    94693 ÷ 131072     		y = 0.722450256347656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.347991943359375 × 2 - 1) × π
    -0.30401611328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.95509479
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.722450256347656 × 2 - 1) × π
    -0.444900512695312 × 3.1415926535     		Φ = -1.39769618222198
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95509479} λ = -0.95509479}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39769618222198))-π/2
    2×atan(0.24716573333009)-π/2
    2×0.242309344229292-π/2
    0.484618688458585-1.57079632675     		φ = -1.08617764
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95509479} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.722901°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08617764 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.233395°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45612 KachelY 94693 -0.95509479 -1.08617764 -54.722901 -62.233395
    Oben rechts KachelX + 1 45613 KachelY 94693 -0.95504685 -1.08617764 -54.720154 -62.233395
    Unten links KachelX 45612 KachelY + 1 94694 -0.95509479 -1.08619997 -54.722901 -62.234674
    Unten rechts KachelX + 1 45613 KachelY + 1 94694 -0.95504685 -1.08619997 -54.720154 -62.234674
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08617764--1.08619997) × R
    2.23299999999593e-05 × 6371000     		dl = 142.264429999741m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08617764--1.08619997) × R
    2.23299999999593e-05 × 6371000     		dr = 142.264429999741m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95509479--0.95504685) × cos(-1.08617764) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.465870987323237 × 6371000     		do = 142.288991047637m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95509479--0.95504685) × cos(-1.08619997) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.465851228447277 × 6371000     		du = 142.282956178325m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08617764)-sin(-1.08619997))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.465870987323237-0.465851228447277)×R²
    abs(-0.95504685--0.95509479)×1.97588759594525e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.97588759594525e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.97588759594525e-05×40589641000000     		ar = 20242.2329338037m²