Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 4561 / 12818
↖ ↑ ↗
← S 70.743478°
W 79.782715°		 ← 805.79 m → S 70.743478°
W 79.760742°		 →
↑
805.61 m
↓
↑
805.61 m
↓
S 70.750723°
W 79.782715°		 ← 805.50 m →
649 036 m²		 S 70.750723°
W 79.760742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4561 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12818 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278411865234375 y=0.782379150390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278411865234375 × 214)
    floor (0.278411865234375 × 16384)
    floor (4561.5)     		tx = 4561
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.782379150390625 × 214)
    floor (0.782379150390625 × 16384)
    floor (12818.5)     		ty = 12818
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4561 / 12818 ti = "14/4561/12818"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4561/12818.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4561 ÷ 214
    4561 ÷ 16384     		x = 0.27838134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12818 ÷ 214
    12818 ÷ 16384     		y = 0.7823486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27838134765625 × 2 - 1) × π
    -0.4432373046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.39247106
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7823486328125 × 2 - 1) × π
    -0.564697265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.77404878113904
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39247106} λ = -1.39247106}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77404878113904))-π/2
    2×atan(0.169644742053353)-π/2
    2×0.168044857520256-π/2
    0.336089715040512-1.57079632675     		φ = -1.23470661
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39247106} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.782715°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23470661 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.743478°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4561 KachelY 12818 -1.39247106 -1.23470661 -79.782715 -70.743478
    Oben rechts KachelX + 1 4562 KachelY 12818 -1.39208756 -1.23470661 -79.760742 -70.743478
    Unten links KachelX 4561 KachelY + 1 12819 -1.39247106 -1.23483306 -79.782715 -70.750723
    Unten rechts KachelX + 1 4562 KachelY + 1 12819 -1.39208756 -1.23483306 -79.760742 -70.750723
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23470661--1.23483306) × R
    0.00012645 × 6371000     		dl = 805.612950000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23470661--1.23483306) × R
    0.00012645 × 6371000     		dr = 805.612950000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39247106--1.39208756) × cos(-1.23470661) × R
    0.000383500000000092 × 0.329798114242072 × 6371000     		do = 805.788641868392m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39247106--1.39208756) × cos(-1.23483306) × R
    0.000383500000000092 × 0.329678736295608 × 6371000     		du = 805.496968298423m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23470661)-sin(-1.23483306))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.329798114242072-0.329678736295608)×R²
    abs(-1.39208756--1.39247106)×0.000119377946463883×R²
    0.000383500000000092×0.000119377946463883×6371000²
    0.000383500000000092×0.000119377946463883×40589641000000     		ar = 649036.277714969m²