Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45606 / 94811
↖ ↑ ↗
← S 62.384005°
W 54.739380°		 ← 141.58 m → S 62.384005°
W 54.736633°		 →
↑
141.56 m
↓
↑
141.56 m
↓
S 62.385278°
W 54.739380°		 ← 141.57 m →
20 042 m²		 S 62.385278°
W 54.736633°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45606 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94811 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.347949981689453 y=0.723354339599609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.347949981689453 × 217)
    floor (0.347949981689453 × 131072)
    floor (45606.5)     		tx = 45606
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723354339599609 × 217)
    floor (0.723354339599609 × 131072)
    floor (94811.5)     		ty = 94811
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45606 / 94811 ti = "17/45606/94811"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45606/94811.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45606 ÷ 217
    45606 ÷ 131072     		x = 0.347946166992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94811 ÷ 217
    94811 ÷ 131072     		y = 0.723350524902344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.347946166992188 × 2 - 1) × π
    -0.304107666015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.95538241
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.723350524902344 × 2 - 1) × π
    -0.446701049804688 × 3.1415926535     		Φ = -1.40335273637714
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95538241} λ = -0.95538241}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40335273637714))-π/2
    2×atan(0.245771573761121)-π/2
    2×0.240995025478997-π/2
    0.481990050957994-1.57079632675     		φ = -1.08880628
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95538241} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.739380°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08880628 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.384005°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45606 KachelY 94811 -0.95538241 -1.08880628 -54.739380 -62.384005
    Oben rechts KachelX + 1 45607 KachelY 94811 -0.95533447 -1.08880628 -54.736633 -62.384005
    Unten links KachelX 45606 KachelY + 1 94812 -0.95538241 -1.08882850 -54.739380 -62.385278
    Unten rechts KachelX + 1 45607 KachelY + 1 94812 -0.95533447 -1.08882850 -54.736633 -62.385278
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08880628--1.08882850) × R
    2.22199999999617e-05 × 6371000     		dl = 141.563619999756m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08880628--1.08882850) × R
    2.22199999999617e-05 × 6371000     		dr = 141.563619999756m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95538241--0.95533447) × cos(-1.08880628) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.463543421391002 × 6371000     		do = 141.578092500386m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95538241--0.95533447) × cos(-1.08882850) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.46352373270774 × 6371000     		du = 141.572079069731m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08880628)-sin(-1.08882850))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.463543421391002-0.46352373270774)×R²
    abs(-0.95533447--0.95538241)×1.96886832621868e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.96886832621868e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.96886832621868e-05×40589641000000     		ar = 20041.8816463713m²