Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 45604 / 94810
↖ ↑ ↗
← S 62.382731°
W 54.744873°		 ← 141.55 m → S 62.382731°
W 54.742127°		 →
↑
141.63 m
↓
↑
141.63 m
↓
S 62.384005°
W 54.744873°		 ← 141.55 m →
20 048 m²		 S 62.384005°
W 54.742127°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45604 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94810 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.347934722900391 y=0.723346710205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.347934722900391 × 217)
    floor (0.347934722900391 × 131072)
    floor (45604.5)     		tx = 45604
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723346710205078 × 217)
    floor (0.723346710205078 × 131072)
    floor (94810.5)     		ty = 94810
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45604 / 94810 ti = "17/45604/94810"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45604/94810.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45604 ÷ 217
    45604 ÷ 131072     		x = 0.347930908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94810 ÷ 217
    94810 ÷ 131072     		y = 0.723342895507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.347930908203125 × 2 - 1) × π
    -0.30413818359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.95547828
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.723342895507812 × 2 - 1) × π
    -0.446685791015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.40330479947752
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95547828} λ = -0.95547828}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40330479947752))-π/2
    2×atan(0.245783355570771)-π/2
    2×0.241006136132279-π/2
    0.482012272264558-1.57079632675     		φ = -1.08878405
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95547828} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.744873°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08878405 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.382731°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45604 KachelY 94810 -0.95547828 -1.08878405 -54.744873 -62.382731
    Oben rechts KachelX + 1 45605 KachelY 94810 -0.95543035 -1.08878405 -54.742127 -62.382731
    Unten links KachelX 45604 KachelY + 1 94811 -0.95547828 -1.08880628 -54.744873 -62.384005
    Unten rechts KachelX + 1 45605 KachelY + 1 94811 -0.95543035 -1.08880628 -54.742127 -62.384005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08878405--1.08880628) × R
    2.2230000000123e-05 × 6371000     		dl = 141.627330000784m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08878405--1.08880628) × R
    2.2230000000123e-05 × 6371000     		dr = 141.627330000784m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95547828--0.95543035) × cos(-1.08878405) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.463563118706039 × 6371000     		do = 141.554574961294m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95547828--0.95543035) × cos(-1.08880628) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.463543421391002 × 6371000     		du = 141.548560149188m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08878405)-sin(-1.08880628))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.463563118706039-0.463543421391002)×R²
    abs(-0.95543035--0.95547828)×1.96973150368152e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.96973150368152e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.96973150368152e-05×40589641000000     		ar = 20047.5705710141m²