Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 45600 / 94755
↖ ↑ ↗
← S 62.312623°
W 54.755859°		 ← 141.92 m → S 62.312623°
W 54.753113°		 →
↑
141.88 m
↓
↑
141.88 m
↓
S 62.313899°
W 54.755859°		 ← 141.91 m →
20 135 m²		 S 62.313899°
W 54.753113°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45600 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94755 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.347904205322266 y=0.722927093505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.347904205322266 × 217)
    floor (0.347904205322266 × 131072)
    floor (45600.5)     		tx = 45600
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722927093505859 × 217)
    floor (0.722927093505859 × 131072)
    floor (94755.5)     		ty = 94755
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45600 / 94755 ti = "17/45600/94755"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45600/94755.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45600 ÷ 217
    45600 ÷ 131072     		x = 0.347900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94755 ÷ 217
    94755 ÷ 131072     		y = 0.722923278808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.347900390625 × 2 - 1) × π
    -0.30419921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.95567003
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.722923278808594 × 2 - 1) × π
    -0.445846557617188 × 3.1415926535     		Φ = -1.40066826999842
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95567003} λ = -0.95567003}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40066826999842))-π/2
    2×atan(0.246432225639866)-π/2
    2×0.241617949248868-π/2
    0.483235898497735-1.57079632675     		φ = -1.08756043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95567003} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.755859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08756043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.312623°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45600 KachelY 94755 -0.95567003 -1.08756043 -54.755859 -62.312623
    Oben rechts KachelX + 1 45601 KachelY 94755 -0.95562209 -1.08756043 -54.753113 -62.312623
    Unten links KachelX 45600 KachelY + 1 94756 -0.95567003 -1.08758270 -54.755859 -62.313899
    Unten rechts KachelX + 1 45601 KachelY + 1 94756 -0.95562209 -1.08758270 -54.753113 -62.313899
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08756043--1.08758270) × R
    2.22700000001019e-05 × 6371000     		dl = 141.882170000649m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08756043--1.08758270) × R
    2.22700000001019e-05 × 6371000     		dr = 141.882170000649m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95567003--0.95562209) × cos(-1.08756043) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.46464697691092 × 6371000     		do = 141.915146761687m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95567003--0.95562209) × cos(-1.08758270) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.464627256799518 × 6371000     		du = 141.90912373207m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08756043)-sin(-1.08758270))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.46464697691092-0.464627256799518)×R²
    abs(-0.95562209--0.95567003)×1.97201114019441e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.97201114019441e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.97201114019441e-05×40589641000000     		ar = 20134.8016991085m²