Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45600 / 94752
↖ ↑ ↗
← S 62.308794°
W 54.755859°		 ← 141.93 m → S 62.308794°
W 54.753113°		 →
↑
141.95 m
↓
↑
141.95 m
↓
S 62.310070°
W 54.755859°		 ← 141.93 m →
20 146 m²		 S 62.310070°
W 54.753113°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45600 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94752 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.347904205322266 y=0.722904205322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.347904205322266 × 217)
    floor (0.347904205322266 × 131072)
    floor (45600.5)     		tx = 45600
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722904205322266 × 217)
    floor (0.722904205322266 × 131072)
    floor (94752.5)     		ty = 94752
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45600 / 94752 ti = "17/45600/94752"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45600/94752.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45600 ÷ 217
    45600 ÷ 131072     		x = 0.347900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94752 ÷ 217
    94752 ÷ 131072     		y = 0.722900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.347900390625 × 2 - 1) × π
    -0.30419921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.95567003
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.722900390625 × 2 - 1) × π
    -0.44580078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.40052445929956
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95567003} λ = -0.95567003}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40052445929956))-π/2
    2×atan(0.246467667778875)-π/2
    2×0.241651361979595-π/2
    0.483302723959189-1.57079632675     		φ = -1.08749360
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95567003} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.755859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08749360 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.308794°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45600 KachelY 94752 -0.95567003 -1.08749360 -54.755859 -62.308794
    Oben rechts KachelX + 1 45601 KachelY 94752 -0.95562209 -1.08749360 -54.753113 -62.308794
    Unten links KachelX 45600 KachelY + 1 94753 -0.95567003 -1.08751588 -54.755859 -62.310070
    Unten rechts KachelX + 1 45601 KachelY + 1 94753 -0.95562209 -1.08751588 -54.753113 -62.310070
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08749360--1.08751588) × R
    2.22800000000412e-05 × 6371000     		dl = 141.945880000262m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08749360--1.08751588) × R
    2.22800000000412e-05 × 6371000     		dr = 141.945880000262m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95567003--0.95562209) × cos(-1.08749360) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.464706153571727 × 6371000     		do = 141.933220837105m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95567003--0.95562209) × cos(-1.08751588) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.464686425297137 × 6371000     		du = 141.92719531424m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08749360)-sin(-1.08751588))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.464706153571727-0.464686425297137)×R²
    abs(-0.95562209--0.95567003)×1.97282745896254e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.97282745896254e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.97282745896254e-05×40589641000000     		ar = 20146.4082848849m²