Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 4560 / 5679
↖ ↑ ↗
← N 75.367281°
W129.902343°		 ← 308.60 m → N 75.367281°
W129.891358°		 →
↑
308.67 m
↓
↑
308.67 m
↓
N 75.364505°
W129.902343°		 ← 308.65 m →
95 265 m²		 N 75.364505°
W129.891358°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4560 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5679 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.139175415039062 y=0.173324584960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.139175415039062 × 215)
    floor (0.139175415039062 × 32768)
    floor (4560.5)     		tx = 4560
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.173324584960938 × 215)
    floor (0.173324584960938 × 32768)
    floor (5679.5)     		ty = 5679
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4560 / 5679 ti = "15/4560/5679"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4560/5679.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4560 ÷ 215
    4560 ÷ 32768     		x = 0.13916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5679 ÷ 215
    5679 ÷ 32768     		y = 0.173309326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.13916015625 × 2 - 1) × π
    -0.7216796875 × 3.1415926535     		Λ = -2.26722360
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.173309326171875 × 2 - 1) × π
    0.65338134765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.0526580417308
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.26722360} λ = -2.26722360}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.0526580417308))-π/2
    2×atan(7.78857597676969)-π/2
    2×1.44310176683125-π/2
    2.88620353366251-1.57079632675     		φ = 1.31540721
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.26722360} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.902343°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31540721 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.367281°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4560 KachelY 5679 -2.26722360 1.31540721 -129.902343 75.367281
    Oben rechts KachelX + 1 4561 KachelY 5679 -2.26703186 1.31540721 -129.891358 75.367281
    Unten links KachelX 4560 KachelY + 1 5680 -2.26722360 1.31535876 -129.902343 75.364505
    Unten rechts KachelX + 1 4561 KachelY + 1 5680 -2.26703186 1.31535876 -129.891358 75.364505
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31540721-1.31535876) × R
    4.84499999999777e-05 × 6371000     		dl = 308.674949999858m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31540721-1.31535876) × R
    4.84499999999777e-05 × 6371000     		dr = 308.674949999858m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.26722360--2.26703186) × cos(1.31540721) × R
    0.000191739999999996 × 0.252621923568558 × 6371000     		do = 308.596762699093m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.26722360--2.26703186) × cos(1.31535876) × R
    0.000191739999999996 × 0.252668801799655 × 6371000     		du = 308.654027999559m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31540721)-sin(1.31535876))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.252621923568558-0.252668801799655)×R²
    abs(-2.26703186--2.26722360)×4.68782310966698e-05×R²
    0.000191739999999996×4.68782310966698e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.68782310966698e-05×40589641000000     		ar = 95264.928496972m²