Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4560 / 4818
↖ ↑ ↗
← S 30.221102°
E 20.390625°		 ← 4 222.37 m → S 30.221102°
E 20.434570°		 →
↑
4 221.55 m
↓
↑
4 221.55 m
↓
S 30.259067°
E 20.390625°		 ← 4 220.74 m →
17 821 503 m²		 S 30.259067°
E 20.434570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4560 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4818 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.55670166015625 y=0.58819580078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.55670166015625 × 213)
    floor (0.55670166015625 × 8192)
    floor (4560.5)     		tx = 4560
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.58819580078125 × 213)
    floor (0.58819580078125 × 8192)
    floor (4818.5)     		ty = 4818
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4560 / 4818 ti = "13/4560/4818"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4560/4818.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4560 ÷ 213
    4560 ÷ 8192     		x = 0.556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4818 ÷ 213
    4818 ÷ 8192     		y = 0.588134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.556640625 × 2 - 1) × π
    0.11328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.35588354
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.588134765625 × 2 - 1) × π
    -0.17626953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.553767064410889
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35588354} λ = 0.35588354}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.553767064410889))-π/2
    2×atan(0.574780491829646)-π/2
    2×0.521669297951068-π/2
    1.04333859590214-1.57079632675     		φ = -0.52745773
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35588354} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.390625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52745773 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.221102°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4560 KachelY 4818 0.35588354 -0.52745773 20.390625 -30.221102
    Oben rechts KachelX + 1 4561 KachelY 4818 0.35665053 -0.52745773 20.434570 -30.221102
    Unten links KachelX 4560 KachelY + 1 4819 0.35588354 -0.52812035 20.390625 -30.259067
    Unten rechts KachelX + 1 4561 KachelY + 1 4819 0.35665053 -0.52812035 20.434570 -30.259067
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52745773--0.52812035) × R
    0.000662620000000058 × 6371000     		dl = 4221.55202000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52745773--0.52812035) × R
    0.000662620000000058 × 6371000     		dr = 4221.55202000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35588354-0.35665053) × cos(-0.52745773) × R
    0.000766990000000023 × 0.864089483159158 × 6371000     		do = 4222.36746141692m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35588354-0.35665053) × cos(-0.52812035) × R
    0.000766990000000023 × 0.863755771515487 × 6371000     		du = 4220.73678170933m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52745773)-sin(-0.52812035))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.864089483159158-0.863755771515487)×R²
    abs(0.35665053-0.35588354)×0.000333711643670798×R²
    0.000766990000000023×0.000333711643670798×6371000²
    0.000766990000000023×0.000333711643670798×40589641000000     		ar = 17821502.5383893m²